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相关试卷

1、已知点 $F_{1}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，长轴长为 $2 \sqrt{2}, A$ 为椭圆上的点，当 $A F_{1}$ 垂直 $x$ 轴时， $|A F_{1}| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、是否存在直线 $l : x = x_{0}$ ，点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，使得 $\frac{|A F_{1}|}{d}$ 为定值；若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

(3)、 $A$ 为椭圆的下顶点，斜率不为0的直线 $m$ 与椭圆交于 $M, N$ 两点，求证： $△ A M N$ 的面积小于 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ .

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2、如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 4, A A_{1} = 2$ ，点 $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，点 $F$ 在棱 $B C$ 上，且 $\vec{C F} = λ \vec{C B} (0 < λ < 1)$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求证： $A D ⊥ E F$ ；

(2)、求点 $D$ 到平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的距离；

(3)、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，求平面 $D E F$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 的夹角的余弦值.

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3、已知圆 $M$ 过点 $A (2, \sqrt{3}), B (1, 2), C (3, 0)$ ，直线 $l$ 的方程为 $(2 + m) x + (2 m + 1) y - 5 - 4 m = 0$ .

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、当直线 $l$ 被圆 $M$ 截得的弦长最短时，求 $m$ 的值及最短弦长.

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4、在 $△ A B C$ 中，已知点 $A (2, 3), B (- 3, 2)$ ，点 $C$ 在直线 $y = x - 1$ 上.

(1)、若点 $C$ 的坐标为 $(4, 3)$ ，求 $A B$ 边上的高线所在的直线方程；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最小值.

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5、已知 $\vec{a} = (2, - 1, 2), \vec{b} = (1, - 3, - 2), \vec{c} = (x, 2, - 1), x \in R$ .

(1)、若 $x = 4$ ，求 $\vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ ；

(2)、若 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (x \vec{c}) > - 1$ ，求 $x$ 的取值范围.

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6、在正四棱锥 $S - A B C D$ 中， $S A = A B = 2, M$ 为棱 $A B$ 上一点，且 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{M B}$ ，则异面直线 $S M$ 和 $A C$ 所成角的余弦值为.

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7、点 $P$ 为直线上 $3 x + 4 y - 22 = 0$ 的动点，过点 $P$ 作圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 7$ 的切线，切点为 $Q$ ，则 $|P Q|$ 的最小值为.

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8、过点 $A (0, 2)$ 且斜率为3的直线方程为.

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9、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ 的左右焦点为 $F_{1}, F_{2}, P$ 为椭圆上的点（不在 $x$ 轴上）， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线交 $x$ 轴于点 $M, △ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值为4，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 2 \sqrt{2}$ B、 $|P M| \geq 2$ C、 $|P F_{1}| \cdot |M F_{2}| = |P F_{2}| \cdot |M F_{1}|$ D、 $|O M| \leq \sqrt{2}$

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10、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ ，点 $P (x_{0}, y_{0})$ ，直线 $l : x_{0} x + y_{0} y = 9$ ，则下列说法正确的是（）

A、若点 $P$ 的坐标为 $(3, 3)$ ，则直线 $l$ 被圆截得的弦长等于 $3 \sqrt{2}$ B、若直线 $l$ 被圆截得的弦长等于 $3 \sqrt{2}$ ，则 $x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ 为定值 C、若直线 $l$ 与圆相交，则点 $P$ 在圆内 D、若点 $P$ 在圆上，直线 $l$ 与圆相切

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11、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{B C} \cdot \vec{A C_{1}} = 0$ B、 $\vec{B C} / / \vec{A_{1} D_{1}}$ C、 $\vec{B C} \cdot \vec{B_{1} D_{1}} > 0$ D、 $\vec{B C} \cdot \vec{D B_{1}} < 0$

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12、已知斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，若 $△ O A B$ 的重心在直线 $y = x$ 上，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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13、已知直线 $l_{1} : a x + (a + 2) y + 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : b x - (b - 1) y + 2 = 0$ 互相垂直，则 $a b$ 的最小值为（）

A、-1 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 至少有3条公切线，则 $r$ 的取值范围为（）

A、 $\sqrt{5} - 1 < r < \sqrt{5} + 1$ B、 $\sqrt{5} - 1 \leq r \leq \sqrt{5} + 1$ C、 $0 < r \leq \sqrt{5} - 1$ D、 $0 < r < \sqrt{5} - 1$

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15、已知四面体 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别为棱 $A C, B D$ 的中点，则（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ B、 $\vec{E F} = - \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A D}$

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16、椭圆 $3 x^{2} + 4 y^{2} = 36$ 的焦距等于（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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17、圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 的圆心坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(- 2, - 1)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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18、直线 $y = \sqrt{3} x$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{12}$

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19、已知空间直角坐标系中两点 $M (0, 2, 3), N (- 2, 1, 6)$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $(2, 1, - 3)$ B、 $(- 2, - 1, 3)$ C、 $(- 2, 3, 9)$ D、 $(- 2, - 3, - 9)$

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20、 $A_{2025}^{10} =$ （）

A、 $2025 \times 2024 \times 2023 \times \dots \times 2015$ B、 $2025 \times 2024 \times 2023 \times \dots \times 2016$ C、 $\frac{2025!}{10!}$ D、 $\frac{2025!}{2015! \times 10!}$

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