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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ .

(1)、求 $| \vec{a} - 2 \vec{b} |$ ；

(2)、若 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 与 $2 \vec{a} + λ \vec{b} (λ \in R)$ 垂直，求 $λ$ 的值.

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2、已知三棱锥 $S - A B C$ 的四个顶点在球O的球面上， $S A = S B = S C$ ， $△ A B C$ 是边长为6的正三角形，E为SA的中点，直线CE，SB所成角为90°，则球O的表面积为．

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3、如图，某山的高度BC＝300m，一架无人机在Q处观测到山顶C的仰角为15°，地面上A处的俯角为45°，若∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为m．

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4、函数 $y = \log_{a} (x - 1) + 8$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点A，且点A在幂函数 $f (x)$ 的图象上，则 $f (x) =$ .

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5、如图1，在等腰梯形ABCD中， $A B ∥ C D$ ， $D A = A B = B C = \frac{1}{2} C D$ ， E为CD中点，将 $△ D A E$ 沿AE折起，使D点到达P的位置（点P不在平面ABCE内），连接PB，PC（如图2），则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $B C //$ 平面PAE B、 $P B ⊥ A E$ C、存在某个位置，使 $P C ⊥$ 平面PAE D、PB与平面ABCE所成角的取值范围为 $(0, \frac{π}{2})$

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6、某市举办了普法知识竞赛，从参赛者中随机抽取1000人，统计成绩后，画出频率分布直方图如图所示，则（）

A、直方图中x的值为0.030 B、估计该市普法知识竞赛成绩的平均数为85分 C、估计该市普法知识竞赛成绩的众数为95分 D、估计该市普法知识竞赛成绩的中位数为88分

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7、为庆祝五四青年节，某校举行了师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠.如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每个弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）

A、 $\frac{2 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} {cm}^{3}$ B、 $\frac{4 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} {cm}^{3}$ C、 $2 (5 + 3 \sqrt{3}) {πcm}^{3}$ D、 $\frac{8 (5 + 3 \sqrt{3}) π}{3} {cm}^{3}$

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8、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M，N，P，Q分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A_{1} A$ ， AB， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则（）

A、PN与QM为异面直线 B、 $A_{1} B$ 与MN所成的角为 $45 °$ C、平面PMN截该正方体所得截面形状为等腰梯形 D、点 $C_{1}$ ， $D_{1}$ 到平面PMN的距离相等

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9、在 $△ A B C$ 中，点D是线段AC上靠近A的一个三等分点，点E是线段AB的中点，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ B、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} + \frac{1}{3} \vec{B C}$ C、 $- \frac{5}{6} \vec{B A} - \frac{1}{3} \vec{B C}$ D、 $\vec{B A} - \frac{1}{6} \vec{B C}$

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10、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{5}$ ，则在原平面图形 $△ A B C$ 中AC的长为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{33}}{2}$

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11、已知圆锥的侧面积为 $12 π$ ，它的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ 的扇形，则此圆锥的体积为（）

A、 $6 \sqrt{2} π$ B、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ C、 $6 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(4, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(- 4, 8)$ D、 $(4, - 8)$

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13、数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位数为（）

A、7 B、7.5 C、8 D、8.5

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14、已知复数z满足 $z (1 - i) = 1$ ，则z的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{1}{2} i$ D、-i

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15、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $M (- \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (0, 3)$ ，点 $G$ 为椭圆 $C$ 上一点，求 $△ A G F_{2}$ 周长的最大值；

(3)、过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ ，且斜率不为零的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P ､ Q$ 两点，求 $△ F_{2} P Q$ 面积的最大值.

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16、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D,$ $A D / / B C$ ，平面 $S A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S A = A B = B C = 1, S B = \sqrt{2}, A D = \frac{1}{2}$ ，点 $E$ 是 $S C$ 的中点.

(1)、证明： $D E$ $∥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求四棱锥 $S - A B C D$ 的体积；

(3)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值.

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17、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并求出 $f (x)$ 的极值；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - a (a \in R)$ ，讨论函数 $g (x)$ 的零点个数.

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18、为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的50名学生，整理得到如下列联表：

男学生
女学生
合计
喜欢运动
8
4
12
不喜欢运动
2
36
38
合计
10
40
50

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？

(2)、现从喜欢运动的学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量 $X$ 为男学生的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附：
$α$
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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19、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b sin (B + C) = a cos \frac{B}{2}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{2}, △ A B C$ 的面积 $S = \frac{1}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足， $a_{3} = 256$ ，且 $a_{n} = 2 a_{n + 1}$ .若 $T_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积，求 $T_{n}$ 的最大值为.

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	男学生	女学生	合计
喜欢运动	8	4	12
不喜欢运动	2	36	38
合计	10	40	50

$α$	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828