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相关试卷

1、根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下：
编号
1
2
3
4
5
6
$x / cm$
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
$F / N$
3.08
3.76
4.31
5.02
5.51
6.25
据此给出以下结论：
①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关．
其中所有正确结论的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，直线 $l_{1} : y = k x + 2$ 是 $C$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = \frac{16}{5}$ 的一条公切线.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知过 $F_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 交 $C$ 于 $M, N$ 两点，交 $y$ 轴于 $P$ 点， $\vec{P M} = λ {\vec{M F}}_{1}, \vec{P N} = μ \vec{N F_{1}}$ ，若 $S_{△ O M N} = m S_{△ O M F_{2}} - λ S_{△ O N F_{2}}$ （ $S_{△ O M N}, S_{△ O M F_{2}}, S_{△ O N F_{2}}$ 分别表示 $△ O M N, △ O M F_{2}, △ O N F_{2}$ 的面积）， $- 3 \leq μ \leq - \frac{7}{3}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + b x (a, b \in R)$ 在 $x = 1$ 和 $x = - 3$ 处取得极值.

(1)、求 $a, b$ ；

(2)、 $\forall x \in R, f (x) ⩾ \frac{1}{3} x^{3} - e^{x} + 2 c - 3$ ，求整数 $c$ 的最大值.

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4、如图，三棱锥 $S - A B C$ 的底面 $A B C$ 是边长为2的等边三角形，点 $S$ 在底面 $A B C$ 内的射影为 $△ A B C$ 的垂心.

(1)、证明： $S A ⊥ B C$ ；

(2)、设 $\vec{A P} = λ \vec{A S} (0 < λ < 1)$ ，若 $S B = B C$ ，则当 $λ$ 取何值时，直线 $P B$ 与平面 $A S C$ 所成角的正弦值最大？

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $2 a_{n + 1} = a_{n} + a_{n + 2}, a_{1} = 1, a_{2024} = 2024$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、证明： $\frac{1}{16} \leq \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{{(3 a_{k} + 1)}^{2}} < \frac{1}{3}$ .

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6、为了解甲､乙两所学校高二年级学生在 $2023 ~ 2024$ 学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：

分组
$[0, 20)$
$[20, 40)$
$[40, 60)$
$[60, 80)$
$[80, 100]$
甲校
频数
3
4
18
15
10
乙校
频数
2
6
12
18
12

(1)、分别估计甲校物理成绩的 $75 %$ 分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：

(2)、根据以上统计数据完成 $2 \times 2$ 列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据 $α = 0.10$ 的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.

甲校
乙校
合计
及格

不及格

合计

参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$α$
0.10
0.05
0.010
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

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7、定义函数 $f_{[a, b]} (x) = \{\begin{array}{l} a, x < a, \\ x, a ⩽ x ⩽ b \\ b, x > b, \end{array}$ ，已知函数 $g (x) = {(f_{[- 1, 2]} (x))}^{2} - f_{[3, 4]} (x)$ ，则 $g (x)$ 的值域为
；若函数 $h (x) = g (x) - k x + 1 - 2 k$ 恰有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围为.

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8、已知随机变量 $X \sim N (4, 12), P (X > a) = P (X < b), n = a + b$ ，则 ${(x + \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为.

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9、已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $8 sin α = 3 {cos}^{2} α$ ，则 $\tan α =$ .

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10、如图，在棱长均为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是棱 $B C$ 的中点， $\vec{C N} = λ {\vec{C C}}_{1} (0 < λ \leq 1)$ ，过点 $B_{1}$ 作平面 $α$ 与直线 $A N$ 垂直，过点 $B$ 作平面 $β$ 与平面 $A M N$ 平行，则（）

A、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时， $α$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面的面积为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ B、当 $λ = 1$ 时， $α$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、若 $β$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面为三角形，则 $λ$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$ D、若 $λ \in (\frac{1}{2}, 1)$ ，则 $β$ 截正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 所得截面为四边形

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F$ 为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点， $Q (3, 1)$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 在第一象限交于点A，则（）

A、 $Q$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $\sqrt{5}$ B、若 $O, Q$ 到直线 $l$ 的距离相等，则 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{4}$ C、 $|A Q| + |A F|$ 的最小值是 $2 + \sqrt{5}$ D、当 $A$ 在直线 $O Q$ 的上方时， $△ O A Q$ 面积的最大值为 $\frac{9}{2}$

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12、下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $f (x) = |x| (x + 2)$ C、 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ D、 $f (x) = ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

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13、如图，已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线 $l$ 与 $E$ 交于 $A, B$ 两点， $A$ 在第一象限，延长 $A F$ 交 $E$ 于多一点 $C$ ，若 $B F ⊥ A C$ 且 $|A C| = 4 |A F|$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$

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14、设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，若 $x_{1} x_{2} < 0$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则 $|x_{2} - x_{1}|$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{12}, + \infty)$ B、 $(\frac{π}{6}, + \infty)$ C、 $(\frac{π}{3}, + \infty)$ D、 $(\frac{π}{2}, + \infty)$

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15、某陶瓷厂上釉车间有 $A ､ B$ 两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检 $A$ 生产线的产品的概率为 $\frac{2}{3}$ ，抽检 $B$ 生产线的产品的概率为 $\frac{1}{3}$ .经过大量数据分析得 $A$ 生产线的次品率为 $12 %$ ，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为 $10 %$ ，据此估计B生产线的次品率为（）

A、 $9 %$ B、 $8.67 %$ C、 $8 %$ D、 $6 %$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 \times 3^{n - 1} + r$ （ $r$ 为常数），则“ $r = - \frac{2}{3}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 为等比数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知函数 $f (x) = 2 f^{'} (2) x + 3 x^{2} - 2 ln x$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $1$ B、 $- 2$ C、 $11$ D、 $- 11$

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18、已知两个单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $\vec{e_{1}} \cdot (2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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19、已知 $i$ 为虚数单位， $z$ 为复数，则下列命题正确的是（）

A、若 $z^{2} + 1 = 0$ ，则 $z = i$ B、若 $z$ 的实部为0，则 $z$ 是纯虚数 C、若 $z = 2 + i$ ，则 $z$ 的虚部是 $i$ D、若 $z + 2 \bar{z} = 3 - 2 i$ ，则 $|z| = \sqrt{5}$

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20、已知集合 $A = \{x ∣ (x - 1) (x - 3) \leq 0\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 3\}$ C、 $\{1, 2, 3\}$ D、 $\{2, 3\}$

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编号	1	2	3	4	5	6
$x / cm$	1	1.2	1.4	1.6	1.8	2.0
$F / N$	3.08	3.76	4.31	5.02	5.51	6.25

	分组	$[0, 20)$	$[20, 40)$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100]$
甲校	频数	3	4	18	15	10
乙校	频数	2	6	12	18	12

	甲校	乙校	合计
及格
不及格
合计

$α$	0.10	0.05	0.010
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635