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相关试卷

1、已知抛物线 $Γ$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为F，A，B是抛物线 $Γ$ 上两点（A，B互异）.

(1)、若 $\vec{A F} = \vec{F B}$ ，且 $|A B| = 2$ ，求抛物线 $Γ$ 的方程.

(2)、O为坐标原点，G为线段 $A B$ 中点，且 $|O G| = \frac{1}{2} |A B|$ .
（ⅰ）求证：直线 $A B$ 过定点；
（ⅱ）x轴上的定点E满足 $E O$ 为 $∠ A E B$ 的角平分线，连接 $A E$ 、 $B E$ ，延长 $B O$ 交 $A E$ 于点P，延长 $A O$ 交 $B E$ 于点Q，求 $S_{△ O P Q}$ 的最大值（用含p的代数式表示）.

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2、盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入k个同（ $k \in N$ ）色球.

(1)、若 $k = 0$ ，记抽取n次中恰有1次抽中黑球的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{n}$ 的最大值；

(2)、若 $k = 1$ ，记事件 $B_{1}$ 表示抽取第i次时抽中黑球.
（ⅰ）分别求 $P (B_{1} {\bar{B}}_{2} {\bar{B}}_{3})$ ， $P ({\bar{B}}_{1} B_{2} {\bar{B}}_{3})$ ， $P ({\bar{B}}_{1} {\bar{B}}_{2} B_{3})$ ；
（ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n次中恰有2次抽中黑球的概率.

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3、如图，五面体ABCDEF中，已知面 $A D E ⊥$ 面 $C D E F$ ， $A B / / C D / / E F$ ， $|A D| = |A E|$ ， $C D ⊥ A D$ .

(1)、求证： $A B ⊥ A E$ .

(2)、若 $|A B| = 2 |C D| = 2 |E F| = 4$ ， $∠ A B C = ∠ A E D = \frac{π}{3}$ ，点P为线段 $A F$ 中点，求直线 $B P$ 与平面 $B D F$ 夹角的正弦值.

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4、已知 $△ A B C$ 面积为 $S$ ，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：
① $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ；
② $c \sin A = \sqrt{3} a \cos \frac{A + B}{2}$ ；
③ $c \sin (A + C) = b \cos (C - \frac{π}{6})$

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 3$ ， $D$ 是 $A B$ 上的点， $C D$ 平分 $∠ A C B$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{3}}{4}$ ，求角平分线 $C D$ 的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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5、已知左、右焦点为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 的椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ），圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - \frac{5}{2} c x + c^{2}$ $= 0$ ，点A是椭圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的交点，直线 $A F_{2}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点B.若 $|A F_{1}| = |A B|$ ，则椭圆的离心率是.

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6、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\min \{a b, \frac{1}{a^{2} + 4 b^{2}}\}$ 的最大值是.（其中 $min \{a, b\}$ 表示a，b中的较小值）

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{a} + \vec{b} = (4, 2)$ ，若 $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - k \vec{b})$ ，则k的值可以是.（写出一个值即可）

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8、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $|A_{1} B_{1}| = 2 |A B| = 4$ ，球O内切于棱台，点P为侧面 $A_{1} A D D_{1}$ 上一点（含边界），则（）

A、球O的表面积为 $8 π$ B、三棱锥 $P - B C C_{1}$ 的外接球球心可能为O C、若直线 $D P ⊥$ 面 $P B_{1} C_{1}$ ，则 $|D P| = \frac{5}{3}$ D、平面 $P B C_{1}$ 与球O的截面面积最小值是 $π$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ，且 $a_{1} \neq 0$ 向量 $\vec{a} = (a_{1}, S_{n + 1})$ ， $\vec{b} = (1, S_{n} + 1)$ ，对于任意 $n \in N^{*}$ ，都有 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、存在实数 $a_{1}$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 成等比数列 B、存在实数 $a_{1}$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 成等差数列 C、若 $a_{1} = - 1$ ，则 $|a_{n} - a_{n + 1}| = 2$ D、若 $a_{1} = 2$ ，则 $(a_{1} + 1) (a_{2} + 1) (a_{4} + 1) \dots (a_{2 n} + 1) = a_{2 n + 1} - 1$

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10、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x + \frac{2}{3}) + f (- x + \frac{2}{3}) = 2 f (\frac{2}{3})$ B、方程 $f (x) = \frac{3}{2}$ 有3个解 C、当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) \in [1, 3]$ D、曲线 $y = f (x)$ 有且仅有一条过点 $(0, 1)$ 的切线

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11、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 恒大于0，对 $\forall x$ ， $y \in R$ ，都有 $f (x + 2 y) = 4 f (x) \cdot f^{2} (y)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $f (0) = \frac{1}{2}$ B、 $f (x) \cdot f (- x) = f^{2} (0)$ C、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k)$ 是奇数 D、 $f (x)$ 有最小值

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12、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ 是总体数据中抽取的样本，k为正整数，则称 $b_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{k}$ 为样本k阶中心矩，其中 $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}$ 为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度 $β_{s} = \frac{b_{3}}{b_{2}^{\frac{3}{2}}}$ 来刻画偏离方向与程度.若将样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{100}$ 绘制柱形图如图所示，则（）

A、 $β_{s} < 0$ B、 $β_{s} = 0$ C、 $β_{s} > 0$ D、 $β_{s}$ 与0的大小关系不能确定

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13、如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量，九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤（我国古代1两 $= 24$ 铢，1斤 $= 16$ 两），从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2，若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为（）

A、2枚 B、3枚 C、4枚 D、5枚

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14、已知 $P$ ， $Q \in \{(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq 2 |x|\}$ ，则 $|P Q|$ 的最大值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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15、“ $sin (x + \frac{π}{3}) = 0$ ”是“ $|\cos x| = \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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16、 $x^{2} {(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中的常数项是（）

A、224 B、448 C、560 D、 $- 280$

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17、已知集合 $A = \{x | 0 < {log}_{2} (x - 1) < 2\}$ ， $B = \{x | x^{2} - 2 x > 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(3, 5)$

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18、已知在复平面内 $z (1 + i)$ 对应的点位于第二象限，则复数z可能是（）

A、 $1 + 2 i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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19、若数列 $\{x_{n}\}$ 满足：存在等差数列 $\{c_{n}\}$ ，使得集合 $\{x_{n} + c_{n} ∣ n \in N^{*}\}$ 元素的个数为不大于 $k (k \in N^{*})$ ，则称数列 $\{x_{n}\}$ 具有 $Q (k)$ 性质.

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + 2 + \cos \frac{n π}{2} + \sin \frac{n π}{2} (n \in N^{*})$ .求证：数列 $\{a_{n} + \cos \frac{n π}{2}\}$ 是等差数列，且数列 $\{a_{n}\}$ 有 $Q (3)$ 性质；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 有 $Q (k_{1})$ 性质，数列 $\{b_{n}\}$ 有 $Q (k_{2})$ 性质，证明：数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 有 $Q (k_{1} k_{2})$ 性质；

(3)、记 $T_{n}$ 为数列 $\{f_{n}\}$ 的前n项和，若数列 $\{T_{n}\}$ 具有 $Q (k)$ 性质，是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得数列 $\{f_{n}\}$ 具有 $Q (m)$ 性质？说明理由.

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20、过抛物线外一点 $P$ 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称 $△ P A B$ 为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点 $P$ 是圆 $Q : x^{2} + {(y + 5)}^{2} = 4$ 上的动点， $△ P A B$ 是抛物线 $Γ : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的阿基米德三角形， $F$ 是抛物线 $Γ$ 的焦点，且 $| P F |_{\min} = 6$ ．

(1)、求抛物线 $Γ$ 的方程；

(2)、利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；

(3)、设 $D$ 是“圆边形”的抛物线弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 $l$ 交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： $|A M| \cdot |B N| = |P M| \cdot |P N|$ ．

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