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相关试卷

1、“ $a \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ”是“圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $C_{2}$ ： ${(x - a)}^{2} + {(y + a)}^{2} = 1$ 有公切线”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点 $A$ 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上 $B$ ， $C$ 两点与点 $A$ 在同一条直线上，且在点 $A$ 的同侧．若在 $B$ ， $C$ 处分别测得球体建筑物的最大仰角为 $60 °$ 和 $20 °$ ，且 $B C = 100 m$ ，则该球体建筑物的高度约为（）（ $\cos 10 ° \approx 0.985$ ）

A、49.25 m B、50.76 m C、56.74 m D、58.60 m

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3、设复数 $z = \frac{1}{1 - i}$ （其中 $i$ 为虚数单位）， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $z + \bar{z} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $i$ D、 $\frac{1 + i}{2}$

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4、若集合 $A = {x| y = \sqrt{x - 2}}, B = {y| y = \sqrt{x - 2}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0, 2]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $\emptyset$

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C, A B = A A_{1} = \sqrt{3}, B C = 1, P$ 是 $B C_{1}$ 上一动点， $\vec{B P} = λ \vec{B C_{1}} (0 < λ < 1), M$ 是 $C C_{1}$ 的中点， $Q$ 是 $A M$ 的中点.

(1)、当 $λ = \frac{1}{4}$ 时，证明： $P Q //$ 平面 $A B C$ ；

(2)、在答题卡的题 (2) 图中作出平面 $A B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的交线 (保留作图痕迹，无需证明)；

(3)、是否存在 $λ$ ，使得平面 $A B_{1} P$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ ? 若存在求满足条件的 $λ$ 值，若不存在，则说明理由.

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6、如图，在扇形 $O M N$ 中，半径 $O M = 2$ ，圆心角 $∠ M O N = \frac{π}{3}$ ，矩形 $A B C D$ 内接于该扇形，其中点 $A, B$ 分别在半径 $O M$ 和 $O N$ 上，点 $C, D$ 在 $\overset{⌢}{M N}$ 上， $A B / / M N$ ，记矩形 $A B C D$ 的面积为S.

(1)、当点 $A, B$ 分别为半径 $O M$ 和 $O N$ 的中点时，求S的值；

(2)、设 $∠ D O M = θ (0 < θ < \frac{π}{6})$ ，当 $θ$ 为何值时，S取得最大值，并求此时S的最大值.

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7、如图，已知多面体 $P Q R A B C D$ 中，四边形 $A B C D 、 P A B Q 、 P A D R$ 均为正方形，点 $H$ 是 $△ C Q R$ 的垂心， $P A = 1$ .

(1)、证明： $H$ 是点 $A$ 在平面 $C Q R$ 上的射影；

(2)、求多面体 $P Q R A B C D$ 的体积.

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8、在非直角三角形 $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2 c cos B - b cos C$ .

(1)、求证： $tan C = 2 tan B$ ；

(2)、若 $tan A = 3, a = 3$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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9、某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了 100 名同学的身高数据 (单位： $cm$ )，制作成频率分布直方图如图所示.

(1)、求这 100 名同学的平均身高的估计值 (同一组数据用区间中点值作为代表)；

(2)、用分层抽样的方法从 $[165, 170), [170, 175), [175, 180)$ 中抽出一个容量为17 的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人?

(3)、估计这 100 名同学身高的上四分位数.

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10、已知 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，点 $D$ 在平面 $A B C$ 内且 $\vec{D A} \cdot \vec{D B} = 0$ ，则 $\vec{D A} \cdot \vec{D C}$ 的最大值为，最小值为.

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11、已知 $4 \cos (θ + \frac{π}{4}) = \cos 2 θ$ ，则 $\sin 2 θ =$ .

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12、已知 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1, \vec{b} = (1, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为.

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13、如图，在三棱锥 $P - D E F$ 中， $P E = P F = 1, P D = 2, D E = D F = \sqrt{5}, E F = \sqrt{2}$ ，点 $Q$ 是 $D F$ 上一动点，则（）

A、过 $P E 、 P F 、 D E 、 D F$ 各中点的截面的面积为 $\sqrt{2}$ B、直线 $P E$ 与平面 $D E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{2}{3}$ C、 $△ P E Q$ 面积的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、将三棱锥的四个面展开在同一平面得到的平面图形可以是直角三角形或正方形。

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14、关于复数 $z = \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}$ ( $i$ 为虚数单位)，下列说法正确的是（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 1$ B、 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第二象限 C、 $z^{3} = 1$ D、 $z^{2} - z + 1 = 0$

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15、已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, A B = 2$ ，半球的球心 $O$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，且半球与该棱台的各棱均相切，则半球的表面积为（）

A、 $9 π$ B、 $18 π$ C、 $27 π$ D、 $36 π$

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16、某学校兴趣学习小组从全年级抽查了部分男生和部分女生的期中考试数学成绩，并算得这部分同学的平均分以及男生和女生各自的平均分，且男女生的平均分不相等，由于记录员的疏忽把人数弄丢了，则据此可确定的是（）

A、这部分同学是高分人数多还是低分人数多 B、这部分同学是男生多还是女生多 C、这部分同学的总人数 D、全年级是男生多还是女生多

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17、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示，点 $M, N$ 是函数图象与 $x$ 轴的交点，点 $P$ 是函数图象的最高点，且 $△ P M N$ 是边长为2的正三角形， $O N = 3 O M$ ，则 $f (\frac{1}{3}) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2} + 2}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

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18、已知四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A C} = (- 2, 1), \vec{B D} = (2, 4)$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、3 B、5 C、6 D、10

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19、已知两条不同的直线 $m, n$ 和三个不同的平面 $α, β, γ$ ，下列判断正确的是（）

A、若 $m \subset α, n / / m$ ，则 $n / / α$ B、若 $m \subset α, n \subset β, m / / β, n / / α$ ，则 $α / / β$ C、若 $α ⊥ γ, β ⊥ γ, α \cap β = m$ ，则 $m ⊥ γ$ D、若 $α \cap β = n, m ⊥ n, m \subset β$ ，则 $α ⊥ β$

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20、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线，若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) // (k \vec{a} - b)$ 则 $k =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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