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相关试卷

1、如下图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 的中点，则异面直线 $B_{1} C$ 与 $E F$ 所成的角的大小为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $90 °$

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2、我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来研究函数图象的特征，已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则 $f (x)$ 可能的解析式是（）

A、 $f (x) = e^{x} \cdot ln |x|$ B、 $f (x) = \frac{ln |x|}{e^{x}}$ C、 $f (x) = e^{x} + ln |x|$ D、 $f (x) = e^{x} - ln |x|$

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3、在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .若 $\frac{a}{\sin A} + \frac{b}{\cos B} = 0$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4、如果一个棱长为 $a$ 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，且这个球的表面积为 $π$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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5、甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为 $x$ ，乙中靶的概率为0.9，且两人是否中靶相互独立．若甲、乙各射击一次，恰有一人中靶的概率为0.26，则（）

A、两人都中靶的概率为0.63 B、两人都中靶的概率为0.70 C、两人都中靶的概率为0.72 D、两人都中靶的概率为0.74

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6、函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象可以看成是将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象（）得到的．

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向左平移个 $\frac{π}{3}$ 单位 D、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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7、计算： $2 lg \sqrt{5} - lg 4^{- \frac{1}{2}} =$ （）

A、10 B、1 C、2 D、 $lg 5$

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8、已知 $\tan α = 1$ ， $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，则 $α =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $- \frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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9、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1}$ 的定义域是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $[1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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10、复数 $3 - 4 i$ （ $i$ 为虚数单位）的共轭复数是（）

A、 $- 4 - 3 i$ B、 $- 4 + 3 i$ C、 $- 3 - 4 i$ D、 $3 + 4 i$

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11、已知集合 $A = \{x \in Z ∣ x^{2} - 2 < 0\}, B = {0, 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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12、若存在实数 $a$ ，对任意 $x \in D$ ，使得函数 $f (x) > a x$ ，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上被 $a$ 控制.

(1)、已知函数 $f (x) = 3 e^{x} + 2 a$ 在 $[2, + \infty)$ 上被 $a$ 控制，求 $a$ 的取值范围.

(2)、(i)证明：函数 $g (x) = 2 x ln (x + 1) + \frac{1}{x + 1}$ 在 $[1, + \infty)$ 上被1控制.
(ii)设 $n \in N^{*}$ ，证明： $ln 2 + ln 3 + ln 4 + \dots + ln (n + 1) > \frac{n - 1}{2} + \frac{1}{2 n + 2}$ .

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13、某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{3}$ .

(1)、若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.

(2)、知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在 $n = 5$ 和 $n = 6$ 之中选其一，则应选择哪个？

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} + m x$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, 3]$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m = 1$ 且经过点 $(1, a)$ 只可作 $f (x)$ 的两条切线，求 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{2}{3^{x} + 1} + a$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ ；

(2)、求不等式 $2 {[f (x)]}^{2} \leq f (- x)$ 的解集.

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16、某校为了解学生阅读文学名著的情况，随机抽取了校内200名学生，调查他们一年时间内的文学名著阅读的达标情况，所得数据如下表：

阅读达标
阅读不达标
合计
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合计
110
90
200

(1)、根据上述数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为阅读达标情况与性别有关联?

(2)、从阅读不达标的学生中按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取6人进行座谈，再从这6人中任选2人，记这2人中女生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{a}$
3.841
6.635
10.828

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17、如图，一只蚂蚁从正四面体 $O A B C$ 的顶点 $O$ 出发，每一步 (均为等可能性的)经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 $n$ 步回到点 $O$ 的概率 $P_{n}$ ，则 $P_{2} =$ ， $P_{n} =$ .

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18、已知 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别是函数 $f (x) = a x^{3} + x^{2} + a x + 1$ 的极大值点和极小值点. 若 $x_{1} > x_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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19、已知函数 $f (x)$ 的定义域和值域均为 $[- 3, 3]$ ，则函数 $g (x) = 2 f (2 x + 1)$ 的定义域和值域分别为.

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20、已知函数 $f (x) = (x - a e^{x}) (\ln x - a x)$ 恰好有三个零点，分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $x_{2} = e^{x_{1}}$ B、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等差数列 C、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 成等比数列 D、 $\frac{x_{3} \ln \frac{x_{1}}{x_{2}}}{\ln x_{3}} < \frac{1}{e}$

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	阅读达标	阅读不达标	合计
女生	70	30	100
男生	40	60	100
合计	110	90	200

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{a}$	3.841	6.635	10.828