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相关试卷

1、抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 上的动点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的距离最短时， $P$ 到 $C$ 的焦点距离为.

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2、已知 ${(x^{3} - x + 1)}^{n} {(x + \frac{1}{x})}^{n + 2}$ 的展开式中各项系数和为8，则展开式中常数项为.

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 x - 2, g (x) = 2 ln x + x - 2$ 的零点分别为 $x_{1}, x_{2}$ ，则（）

A、 $2 x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} x_{2} = e^{x_{1}} + ln x_{2}$ C、 $x_{1} + x_{2} > \frac{4}{3}$ D、 $2 x_{1} x_{2} < \sqrt{e}$

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4、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有两个对称中心，则下列结论正确的是（）

A、 $ω$ 的范围是 $[\frac{5}{3}, \frac{8}{3})$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{12})$ 上单调递增 C、 $x = \frac{π}{4}$ 不可能是函数 $y = f (x)$ 的图像的一条对称轴 D、 $f (x)$ 的最小正周期可能为 $\frac{π}{2}$

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5、已知五个数据 $5, 5, 10, 10, a$ 的 $80 %$ 分位数为15，则这组数据（）

A、平均数为9 B、众数为10 C、中位数为10 D、方差为30

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6、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $a sin 2 x \geq 2 sin \frac{x}{2} \sqrt{1 - sin x}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[0, \sqrt{2} - 1]$ C、 $[\sqrt{2} - 1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$

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7、已知首项为2的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $4 a_{n + 1} - 5 a_{n + 1} a_{n} - 2 a_{n} = 2$ ，当 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} \geq 16$ 时，则 $n$ 的最小值为（）

A、40 B、41 C、42 D、43

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8、平面四边形 $A B C D$ 中，点 $E ､ F$ 分别为 $A D, B C$ 的中点， $|C D| = 2 |A B| = 8, |E F| = 5$ ，则 $cos ⟨\vec{A B}, \vec{D C}⟩ =$ （）

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{55}{64}$ C、 $- \frac{\sqrt{55}}{8}$ D、 $- \frac{23}{40}$

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9、过圆锥 $P O$ 高的中点 $O^{'}$ 作平行于底面的截面，则截面分圆锥 $P O$ 上部分圆锥与下部分圆台体积比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{7}$

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10、用 $0, 1, 2, 3, 4$ 能组成没有重复数字且比32000小的数字（）个.

A、212 B、213 C、224 D、225

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11、已知 $p : - 3 < k < 0, q$ ：不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 的解集为 $R$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、点 $F_{1} (- 2, 0), F_{2} (2, 0)$ 为等轴双曲线 $C$ 的焦点，过 $F_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 的两渐近线分别交于 $A ､ B$ 两点，则 $△ A O B$ 的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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13、若复数 $z = 3 - 4 i$ ，则 $|z \cdot i - \bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、5 C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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14、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ ，使平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ .
(1)求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；
(2)求 $B_{1} E$ 与平面 $B_{1} M D$ 所成的角；
(3)在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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15、2021年底某市城市公园主体建设基本完成，为了解市民对该项目的满意度，从该市随机抽取若干市民对该项目进行评分（满分100分），根据所得数据，按 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值，并估计该市市民评分的 $60 %$ 分位数；

(2)、为进一步完善公园建设，按分层随机抽样的方法从评分在 $[60, 80)$ 中抽取7人，再随机抽取其中2人进行座谈，求这2人的评分在同一组的概率.

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16、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ .
（1）求 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角；
（2）若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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17、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $O$ 为对角线的交点，动点 $M$ 在线段 $A D$ 上，点 $M$ 关于点 $O$ 的对称点为点 $N$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的最大值为．

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18、已知某圆锥的侧面积为 $\sqrt{5} π$ ，该圆锥侧面的展开图是弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为.

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19、 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $S$ 为 $△ A B C$ 的面积，且 $a = 2$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2 \sqrt{3} S$ ，下列选项正确的是（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、若 $b = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $b$ 取值范围是 $(2 \sqrt{3}, 4)$ D、若 $D$ 为 $B C$ 边上的中点，则 $A D$ 的最大值为 $2 + \sqrt{3}$

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20、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，点 $E$ 是正方形 $A B B_{1} A_{1}$ 内（含边界）一个动点，则下列结论正确的是（）

A、 $B O ⊥ A C$ B、点 $E$ 存在无数个位置满足 $O E ∥$ 平面 $A C D_{1}$ C、直线 $C C_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、三棱锥 $A - E C D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{1}{3}$

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