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相关试卷

1、中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小胡同学去该馆任意选取四类重要藏品参观，则在钱币、玉石器、甲骨、瓷器这四类中至少参观其中一类的不同选择方案的种数是（）

A、224 B、121 C、96 D、84

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2、设函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处存在导数为2，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{3 Δ x} =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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3、命题甲：对任意 $x \in (a, b)$ ，有 $f^{'} (x) > 0$ ；命题乙： $f (x)$ 在 $(a, b)$ 内是单调递增的，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、下列导数计算错误的是（）

A、 ${(\frac{1}{x})}^{'} = - \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$ C、 ${(x \ln x)}^{'} = \ln x + 1$ D、 ${(\tan x)}^{'} = \frac{1}{\sin^{2} x}$

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = 6$ ， $A B = 10$ ， $\cos ∠ C A B = \frac{3}{5}$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $D$ 是 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $A C_{1} / /$ 平面 $C D B_{1}$ ；

(2)、求证： $A C ⊥ B C_{1}$ ；

(3)、求三棱锥 $A_{1} - B_{1} C D$ 的体积．

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6、下列命题正确的是（）

A、 $p :$ “ $α$ 是第二象限角或第三象限角”， $q :$ “ $cos α < 0$ ”，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件 B、若 $α$ 为第一象限角，则 $\frac{cos α}{\sqrt{1 + cos 2 α}} + \frac{sin α}{\sqrt{1 - cos 2 α}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、在 $△ A B C$ 中，若 $tan A \cdot tan B > 1$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、已知 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ，且 $cos 2 α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则 $tan α = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

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7、设m、n为空间中两条不同直线， $α$ 、 $β$ 为空间中两个不同平面，下列命题中正确的为（）

A、若m上有两个点到平面 $α$ 的距离相等，则 $m ∥ α$ B、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset β$ ，则“ $m ∥ n$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的既不充分也不必要条件 C、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ D、若m、n是异面直线， $m \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n \subset β$ ， $n ∥ α$ ，则 $α ∥ β$

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8、已知复数z满足 $(1 + i) z = |\sqrt{3} - i|$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $2 + 2 i$

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9、与 $- 20 ^{\circ}$ 角终边相同的角是（）

A、 $- 300^{\circ}$ B、 $- 280 ^{\circ}$ C、 $320 ^{\circ}$ D、 $340^{\circ}$

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10、已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（）

A、若用方案甲，化验次数为2次的概率为 $\frac{1}{8}$ B、若用方案乙，化验次数为3次的概率为 $\frac{1}{8}$ C、若用方案甲，平均化验次数为4 D、若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好

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11、已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ ，且 $\frac{P (ξ < 3)}{P (ξ < 5)} = \frac{1}{4}$ ，则 $P (3 < ξ < 5) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

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12、下列命题正确的是（）

A、已知随机变量 $X \sim B (n, p)$ ，若 $E (X) = 30, D (X) = 10$ ，则 $p = \frac{1}{3}$ B、若随机变量 $X$ 满足 $D (X) = 2$ ，则 $D (3 - X) = 1$ C、已知随机变量 $X \sim B (n, \frac{1}{2})$ ，若 $E (2 X + 1) = 9$ ，则 $n = 4$ D、已知随机变量 $X \sim B (6, \frac{1}{2})$ ，则 $P (X = 3) = \frac{5}{16}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的部分图象如下图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能为（）

A、 $\frac{5 e^{x} - 5 e^{- x}}{x^{2} + 2}$ B、 $\frac{5 \sin x}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{5 e^{x} + 5 e^{- x}}{x^{2} + 2}$ D、 $\frac{5 \cos x}{x^{2} + 1}$

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14、著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得 $∠ A P B = ∠ B P C = ∠ C P A = 120 °$ 的点P即为费马点．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\cos B = \frac{2 a \cos A}{c} - \frac{\sin B}{\tan C}$ ．若 $P$ 是 $△ A B C$ 的“费马点”， $a = 2 \sqrt{3}, b < c$ ．

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A} = - 4$ ，求 $△ A B C$ 的周长；

(3)、在（2）的条件下，设 $f (x) = 4^{x} - m \cdot 2^{x} + | \vec{P A} | + | \vec{P B} | + | \vec{P C} |$ ，若当 $x \in [0, 1]$ 时，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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15、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为等边三角形， $G$ 为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的重心， $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{P A_{1}}$ ，若 $∠ B A A_{1} = ∠ C A A_{1} = \frac{π}{3}, A B = A A_{1} = 1$ ，则（）

A、 $\vec{P G} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{A A_{1}} ⊥ \vec{B C}$ C、 $\vec{P G}$ $/ /$ $\vec{B C_{1}}$ D、 $|\vec{P G}| = \frac{\sqrt{5}}{3}$

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16、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，下列说法正确的是（）

A、若 $A = 45^{\circ}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $\frac{a}{cos B} = \frac{b}{cos A}$ ，则△ABC为等腰三角形 C、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\sin A > \cos B$ D、若 $△ A B C$ 的外接圆的圆心为O，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ， $|\vec{A O}| = |\vec{A B}|$ ，则向量 $\vec{C A}$ 在向量 $\vec{C B}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{C B}$

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17、通常以24小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（ $< 10 mm$ ），中雨（ $10 mm - 25 mm$ ），大雨（ $25 mm - 50 mm$ ），暴雨（ $50 mm - 100 mm$ ）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，计量单位 $1 cm = 10 mm$ ）连续接了24小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的 $\frac{1}{6}$ ，则当天的降雨等级是（）

A、小雨 B、中雨 C、大雨 D、暴雨

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18、“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{14}{15}$

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19、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ．向量 $\vec{p} = (a + c, b), \vec{q} = (b - a, c - a)$ ．若 $\vec{p} / / \vec{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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20、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为1，空间中一点 $M$ 满足 $\vec{P M} = x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C}$ ，其中 $x$ ， $y$ ， $z \in R$ ，且 $x + y + z = 1$ .则 $|\vec{P M}|$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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