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相关试卷

1、已知复数 $z = (3 - 4 i) i$ ，则z的虚部是（）

A、4 B、 $- 4$ C、3 D、3i

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2、如下左图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $∠ A B C = 90 °$ .过顶点 $C$ 作对角线 $B D$ 的垂线，交对角线 $B D$ 于点 $O$ ，交边 $A D$ 于点 $Q$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折，形成四面体 $P B C D$ ，如下右图.

(1)、求四面体 $P B C D$ 外接球的体积；

(2)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $O C Q$ ；

(3)、若点 $G$ 为棱 $B C$ 的中点，请判断在将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 翻折过程中，直线 $P G$ 能否平行于面 $O C Q$ .若能请求出此时的二面角 $P - B D - C$ 的大小；若不能，请说明理由.

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3、Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为 $\frac{1}{2}$ 与 $p$ ，乙连续2次答错的概率为 $\frac{1}{16}$ ．

(1)、求乙答对题的概率；

(2)、若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．

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4、为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组 $[45, 55 ）$ ，第二组 $[55, 65 ）$ ，第三组 $[65, 75 ）$ ，第四组 $[75, 85 ）$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为 $0.3$ ，第一组和第五组的频率相同．

(1)、估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；

(2)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．

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5、已知 $△ A B C$ 的三个角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，

(1)、已知 $a = \sqrt{33} ， b = 4 ， c = 5$ ，求 $B C$ 边上中线长.

(2)、请用 $a ， b ， c$ 表示 $B C$ 边的中线长，并写出推导过程.

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6、如图， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为矩形， $A E ⊥ P B$ 于点 $E ， A F ⊥ P C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、设平面 $A E F$ 交 $P D$ 于点 $G$ ，求证： $A G ⊥ P D$ ．

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7、如图，透明塑料制成的长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内灌进一些水，固定容器底面一边 $B C$ 于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终为四棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面 $E F G H$ 所在四边形的面积为定值；
④棱 $A_{1} D_{1}$ 始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图（3）所示时， $B E \cdot B F$ 是定值．其中所有正确命题的序号是．

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8、已知 $\vec{e_{1}}$ 和 $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 2 \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 是共线向量，则实数 $k$ 的值是．

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9、已知复数 $z_{1} = a + b i ， z_{2} = 4 + a i (a ， b \in R)$ ，若 $|z_{1}| < z_{2}$ ，则 $b$ 的取值范围是．

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10、已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件 $A =$ “取到红球和黑球”，事件 $B =$ “第一次取到黑球”，事件 $C =$ “第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（）

A、 $P (B) + P (C) = 1$ B、 $P (A + B) = \frac{5}{6}$ C、 $P (B C) = \frac{1}{6}$ D、 $P (A C) = P (A) P (C)$

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11、已知 $a ， b \in R$ ，方程 $x^{2} + a x - b = 0$ 有一个虚根为 $1 + i ， i$ 为虚数单位，另一个虚根为 $z$ ，则（）

A、该方程存在实数根 B、 $a = - 2$ C、 $z = 1 - i$ D、 $z^{2024} = 2^{1012}$

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12、 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $c \cos B + b \cos C = a^{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 2$ B、若 $B + C = 2 A$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $△ A B C$ 不可能为锐角三角形 D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{B C} \cdot \vec{B O} = \frac{1}{2}$

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13、已知直线 $a, b$ 与平面 $α, β, γ$ ，能使 $α ⊥ β$ 的充分条件是（）

A、 $α ⊥ γ, β ⊥ γ$ B、 $a / / α, a ⊥ β$ C、 $a / / α, a / / β$ D、 $α \cap β = a, b ⊥ a, b \subset β$

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14、掷两枚质地均匀的骰子，设 $A =$ “第一枚出现奇数点”， $B =$ “第二枚出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 的关系为（）

A、互斥 B、包含 C、互为对立 D、相互独立

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15、在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量 $\overset{⃑}{BD}$ 在 $\overset{⃑}{BA}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{3}{2} \overset{⃑}{BA}$ B、 $\frac{3}{4} \overset{⃑}{BA}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \overset{⃑}{BA}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \overset{⃑}{B A}$

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16、圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，其侧面积为 $84 π$ ，则较小底面的半径为（）

A、3 B、5 C、7 D、9

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17、下列各组数的方差从小到大排序是（）
（1） $6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ；$ （2） $5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7$ ；
（3） $4, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8$ ；（4） $3, 3, 3, 3, 6, 9, 9, 9, 9$ ．

A、（1）（2）（3）（4） B、（4）（3）（2）（1） C、（3）（1）（2）（4） D、（2）（1）（3）（4）

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18、如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是

A、 B、 C、 D、

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19、以 $2 i - \sqrt{5}$ 的虚部为实部，以 $\sqrt{5} i + 2 i^{2}$ 的实部为虚部的新复数是（）

A、 $- \sqrt{5} + i$ B、 $2 + i$ C、 $2 - 2 i$ D、 $\sqrt{5} + \sqrt{5} i$

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20、已知函数 $f (x) = x (a - ln x)$ ， $a \in R$ ．

(1)、令 $h (x) = a f (x) (a \neq 0)$ ，讨论 $h (x)$ 的单调性；

(2)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极值点，函数 $g (x) = f (x) - 2 k$ 有且仅有一个零点，设 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 为两个不相等的正数，且满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ．
①求k的取值范围；
②求证： $x_{1} + x_{2} < e$ ．

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