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相关试卷

1、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为两个不共线的向量，若向量 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = - 2 \vec{e_{1}} + 3 \vec{e_{2}}$ ，则下列向量中与向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 共线的是（）

A、 $- 5 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ B、 $4 \vec{e_{1}} + 10 \vec{e_{2}}$ C、 $10 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ D、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$

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2、已知复数 $z = \frac{2}{1 + i}$ （i为虚数单位），则z的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、在某抽奖活动中，初始时的袋子中有3个除颜色外其余都相同的小球，颜色为2白1红．每次随机抽取一个小球后放回．抽奖规则如下：设定抽中红球为中奖，抽中白球为未中奖；若抽到白球，放回后把袋中的一个白色小球替换为红色；若抽到红球，放回后把三个球的颜色重新变为2白1红的初始状态．记第n次抽奖中奖的概率为 $P_{n}$ ．

(1)、求 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ；

(2)、若存在实数a，b，c，对任意的不小于4的正整数n，都有 $P_{n} = a P_{n - 1} + b P_{n - 2} + c P_{n - 3}$ ，试确定a，b，c的值，并说明理由；

(3)、若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章，则从初始状态下连抽9次获得至少一枚勋章的概率为多少？

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4、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{3}$ ， $C D = 1$ ， $∠ A C D = 60^{\circ}$ ， $∠ A B C = 30^{\circ}$ .

(1)、证明： $A D ⊥ C D$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(3)、设 $E$ 为线段 $A B$ 的中点，求 $D E$ 的最大值.

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C ⊥$ 平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且 $P A = A C = 2$ ， $A B = 1$ ， $E F = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - C$ 的余弦值．

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6、某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示：

(1)、求a的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数；

(2)、求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数（结果保留一位小数）．

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7、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{5 π}{6}$ ，且 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $| \vec{a} + 2 \vec{b} |$ ．

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8、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若 $a + \frac{1}{2} = c \cos B$ 且 $A C = 1$ ， $C D = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $A B =$ ．

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9、已知互不相等的4个正整数从小到大排序为 $x, y, z, 6$ ．若这4个数据的极差是中位数的2倍，则这4个数据的第75百分位数为．

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10、已知 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = - 4 + i$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| =$ ．

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11、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是 $A B = 8$ ， $B C = 4$ 的矩形，直四棱柱的高为4，E，F分别为棱AB， $A_{1} D_{1}$ 的中点，则下列说法中正确的有（）

A、直线 $A_{1} B$ 与CF相交 B、异面直线 $D B_{1}$ 与CE所成角为 $90 °$ C、二面角 $D_{1} - C E - D$ 的平面角为 $45 °$ D、平面CEF截该长方体所得的截面为五边形

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12、某市2023年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图．则下列结论中正确的是（）

A、招商引资后，工资净收入较前一年减少 B、招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍 C、招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的 $\frac{1}{3}$ D、招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $b cos C + c cos B = b$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 B、若 $B = 30 °$ ， $b = 2$ ， $c = 2 \sqrt{2}$ ，则 $C = 45 °$ C、若 $a = 2$ ， $b = 4$ ， $cos C = \frac{1}{4}$ ，则 $c = 4$ D、若 $△ A B C$ 面积为 $S = \frac{1}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ，则 $C = 45 °$

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14、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与乙互斥 B、丙发生的概率为 $\frac{1}{6}$ C、甲与丁相互独立 D、乙与丙相互独立

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15、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C ⊥ C B$ ， $P A = 2 B C = 2$ ， $A C = \sqrt{3}$ ，则此四面体的外接球表面积为（）

A、 $3 π$ B、 $8 π$ C、 $9 π$ D、 $\frac{8 \sqrt{2}}{3} π$

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16、已知向量 $\vec{m} = (2, λ)$ ， $\vec{n} = (2 - λ, - 4)$ ，若 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 方向相反，则实数 $λ$ 的值为（）

A、4 B、2或 $- 4$ C、 $- 2$ D、 $- 2$ 或4

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17、已知圆锥的底面半径为 $\sqrt{2}$ ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{6}}{3} π$ D、 $\frac{8 \sqrt{6}}{3} π$

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18、已知在平行四边形ABCD中，E为AC上靠近点A的三等分点，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B E} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{5}{12} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{4}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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19、四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）

A、平均数为3，中位数为2 B、平均数为2，方差为2.4 C、中位数为3，众数为2 D、中位数为3，方差为2.8

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20、某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从乙种型号的产品中抽取件数为（）

A、24 B、9 C、36 D、18

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