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相关试卷

1、已知 $x \in (0, π)$ ， $\sin (\frac{13 π}{3} - x) - \cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 0$ ，则 $\tan (x + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- 3 - 2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、-3

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2、已知下列四个命题：
①命题“ $\forall x \in R, \sqrt{x^{2} + 1} \geq 1$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in R, \sqrt{x_{0}^{2} + 1} < 1$ ”；
②若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $sin A + sin B > cos A + cos B$ ；
③若 $f^{'} (x_{0}) = 0$ ，则 $x = x_{0}$ 是函数 $f (x)$ 的极值点；
④命题 $p$ ：若 $a^{2} - b^{2} > 0$ ，则 $a^{3} - b^{3} > 0$ ；命题 $q$ ：若 $a \neq b$ ，则 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ ；可知“ $p$ 或 $q$ ”为真命题．
其中真命题的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3、如果集合 $S = \{x | x = 3 n + 1, n \in Z\}$ ， $T = \{x | x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ，则（）

A、 $S \subseteq T$ B、 $T \subseteq S$ C、 $S = T$ D、 $S \in T$

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4、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ .

(1)、讨论函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} {(x + 1)}^{2}$ 的单调性；

(2)、若不等式 $f (x) > 1 - m x + ln x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = n x + ln x (n \in N^{*})$ 的图象在点 $(1, f (1))$ 处的切线 $l$ 经过点 $(a_{n}, 0)$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 $\{\frac{(n^{2} - 1) a_{n}}{2^{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{2}$ .

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6、将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.

(1)、试把这个正六棱柱铁皮盒的容积 $V$ 表示为盒底边长 $x$ 的函数；

(2)、 $x$ 多大时，盒子的容积 $V$ 最大？并求出最大值.

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7、已知 $p : f (x) = x - a \ln x$ 在 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增， $q : a < m$ .若 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，则实数 $m$ 的取值范围为.

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8、数列 $\{{(- 1)}^{n} (2 n - 1)\}$ 的前100项和等于.

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 0, a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} + 1) - a_{n} (n \in N^{*})$ ，记 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下列选项正确的是（）

A、 $\{a_{2 n - 1}\}$ 是单调递增数列， $\{a_{2 n}\}$ 是单调递减数列 B、 $a_{n} + a_{n + 1} \leq ln 3$ C、 $S_{2020} < 1010 ln 2$ D、 $a_{2 n - 1} \leq a_{2 n}$

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10、已知函数 $f (x) = \frac{|x|}{e^{x}}$ .则下列说法正确的有（）

A、函数 $y = f (x)$ 有两个零点 B、函数 $y = f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, 0)$ 和 $(1, + \infty)$ C、函数 $y = f (x)$ 有极大值 $\frac{1}{e}$ D、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有三个不同的根.则实数 $a$ 的取值范围是 $(0, \frac{1}{e})$

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11、已知集合 $M = {x | x^{2} - 3 x + 2 \leq 0}$ ， $N = {x | x > - 1}$ ，则（）

A、 $N \subseteq M$ B、 $M \subseteq N$ C、 $M \cap N \neq \emptyset$ D、 $M \cup ∁_{R} N = R$

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12、设函数 $f (x) = {(x - a)}^{2} + {(\ln x^{2} - 2 a)}^{2}$ ，其中 $x > 0 ， a \in R$ ，存在 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) \leq b$ 成立，则实数 $b$ 的最小值为

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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13、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则281是第几个数（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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14、已知 $a = \frac{- ln 5}{5}, b = \frac{- ln 3}{3}, c = \frac{- ln 2}{2}$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2, a_{2} = 4,$ $a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ （）

A、4 B、2 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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16、若 $α < β < 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $α^{2} < β^{2}$ B、 $\frac{β}{α} + \frac{α}{β} > 2$ C、 ${(\frac{1}{2})}^{α} < {(\frac{1}{2})}^{β}$ D、 $\sin α < \sin β$

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17、函数 $y = f (x)$ 的图象如图所示，下列不等关系正确的是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (2) < f (3) - f (2) < f^{'} (3)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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18、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{4} = 2$ ， $S_{8} = 10$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的公比为( )

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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19、命题“ $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} \geq x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} < x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \notin (0, + \infty)$ ， $\ln x_{0} \geq x_{0} - 1$ C、 $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $\ln x < x - 1$ D、 $\forall x \notin (0, + \infty)$ ， $\ln x \geq x - 1$

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20、已知三棱锥 $A - B C D$ 中， $A C = B C = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = a$ ， $△ A C D$ 为等边三角形，平面 $B C D ⊥$ 平面 $A C D$ .

(1)、求证： $B C ⊥ A D$ ；

(2)、若三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{16 \sqrt{3}}{3}$ ，求a的值.

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