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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2^{n} + n$ ，则 $a_{3} =$ .

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2、二进制是在数学和数字电路中以2为基数的记数系统，在这一系统中，通常用两个不同的符号0，1来表示数.如果十进制中的整数 $n = a_{k} \cdot 2^{k} + a_{k - 1} \cdot 2^{k - 1} + \dots + a_{1} \cdot 2 + a_{0} (a_{i} \in {0, 1}, i = 0, 1, \dots, k)$ ，则这个数在二进制下记为 $a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0}$ ，即 ${(n)}_{10} = {(a_{k} a_{k - 1} \dots a_{1} a_{0})}_{2}$ .记十进制下的整数n在二进制表示下的各位数字之和为 $φ (n)$ ，即 $φ (n) = a_{0} + a_{1} + \dots + a_{k}$ .

(1)、计算 $φ (7)$ ；

(2)、证明： $φ (4 n + 3) = φ (2 n + 1) + 1$ ；

(3)、求数列 $\{φ (3 \cdot 2^{n} - 1)\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知直线 $l : x = 2$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点F且被椭圆C截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点 $P (4, 0)$ 的动直线m与椭圆C相交于A，B两点，且直线l上的点M满足 $\vec{A M} // \vec{F P}$ ，求证：直线 $M B$ 过定点，并求该定点的坐标.

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4、如图，已知斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C ⊥$ 侧面 $A A_{1} B_{1} B$ ，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是矩形，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 是菱形， $∠ B A A_{1} = 60 °$ ， $A B = 2 B C = 2$ ，点E是棱 $A A_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $B E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B_{1} C - E$ 的余弦值.

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5、某市为了解车主用车的能源类型与对该市交通拥堵感受的关系，共调查了100名车主，并得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

觉得交通拥堵
觉得交通不拥堵
合计
燃油车车主
30
20
50
新能源车车主
25
25
50
合计
55
45
100

(1)、将频率估计为概率，从该市燃油车和新能源车车主中随机抽取1名，记“抽取到燃油车车主”为事件 $A_{1}$ ， “抽取到新能源车车主”为事件 $A_{2}$ ， “抽取到的车主觉得交通拥堵”为事件 $B_{1}$ ， “抽取到的车主觉得交通不拥堵”为事件 $B_{2}$ ，计算 $P (B_{1} |A_{1})$ ， $P (B_{1} |A_{2})$ ，比较它们的大小，并说明其意义；

(2)、是否有 $90 %$ 的把握认为该市车主用车的能源类型与对该市交通拥堵的感受有关？将分析结果与（1）中结论进行比较，并作出解释.
附表及公式：
$α$
0.100
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

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6、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、若 $x = 0$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求实数a的取值范围.

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7、已知 $a > 0$ 且 $x > 0$ 时，不等式 $a e^{2 x} - \ln (x + m) + \frac{1}{4 a} > 0$ 恒成立，则正数m的取值范围是.

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8、已知双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 9$ ，点N的坐标为 $(m, n)$ ，其中 $m, n \in {1, 2, 3}$ ，存在过点N的直线与双曲线C相交于A，B两点，且点N为弦 $A B$ 的中点，则点N的坐标是.（写出一个符合条件的答案即可）

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9、已知复数 $z$ 的实部为 $2$ ，且 $\frac{z}{2 + i}$ 为纯虚数，则复数 $z =$ .

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10、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形，其所在平面为 $α$ ，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2 A A_{1} = 2$ .O是 $A C$ ， $B D$ 的交点，P是平面 $α$ 内的动点（图中未画出）.则下列说法正确的是（）

A、若 $C_{1} P = 2$ ，则动点P的轨迹长度为 $2 π$ B、若 $∠ O C_{1} P = 90 °$ ，则动点P的轨迹是一条直线 C、若 $O P = C_{1} P$ ，则动点P的轨迹是一条直线 D、若动点 $P$ 到直线 $O C_{1}$ 的距离为1，则 $P A + P C$ 为定值

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11、现统计具有线性相关关系的变量X，Y，Z的n组数据，如下表所示：
变量
1
2
3
…
n
平均数
方差
X
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{3}$
…
$x_{n}$
$\bar{x}$
$σ_{1}^{2}$
Y
$10 x_{1}$
$10 x_{2}$
$10 x_{3}$
…
$10 x_{n}$
$\bar{y}$
$σ_{2}^{2}$
Z
$z_{1}$
$z_{2}$
$z_{3}$
…
$z_{n}$
$\bar{z}$
$σ_{3}^{2}$
并对它们进行相关性分析，得到 $Z = b_{1} X + a_{1}$ ， Z与 $X$ 的相关系数是 $r_{1}$ ， $Z = b_{2} Y + a_{2}$ ， Z与Y的相关系数是 $r_{2}$ ，则下列判断正确的是（）
附：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ，相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .

A、 $\bar{y} = 10 \bar{x}$ B、 $σ_{2}^{2} = 10 σ_{1}^{2}$ C、 $b_{1} = 10 b_{2}$ D、 $r_{2} = r_{1}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (3, 1)$ B、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2, - 2)$ C、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$

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13、已知直线 $l_{1} : a x - y + 5 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + a y - a + 4 = 0 (a \in R)$ 的交点为P，则点P到直线 $l : y = x - 3$ 距离的取值范围是（）

A、 $[3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2}]$ B、 $(3 \sqrt{2}, 7 \sqrt{2}]$ C、 $[2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$ D、 $(2 \sqrt{2}, 6 \sqrt{2}]$

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14、已知函数 $f (x)$ ，对任意的 $x, y \in R$ 都有 $f (x + y) = 2^{x} f (y) + 2^{y} f (x)$ ，且 $f (1) = 2$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $\frac{f (x)}{2^{x}}$ 是奇函数 C、 $y = f (x)$ 是 $R$ 上的增函数 D、 $f (n) = n \cdot 2^{n} (n \in N^{*})$

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15、如图， $A (α, \frac{3}{5})$ 是函数 $y = \sin (x - \frac{π}{6})$ 图象上的一点，则 $\tan (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{24}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $- \frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{24}$

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，若抛物线上一点 $M$ 满足 $| M F | = 2$ ， $∠ O F M = 60 °$ ，则 $p =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、8

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17、攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为 $8 m$ ，高为 $3 m$ ，则该屋顶的面积约为（）

A、 $15 {π m}^{2}$ B、 $20 {π m}^{2}$ C、 $24 {π m}^{2}$ D、 $30 {π m}^{2}$

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18、已知 $\{a_{n}\}$ 是无穷数列， $a_{1} = 3$ ，则“对任意的 $m, n \in N^{*}$ ，都有 $a_{m + n} = a_{m} + a_{n}$ ”是“ $\{a_{n}\}$ 是等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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19、已知 ${(2 x + 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{5} x^{5}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、10 B、20 C、40 D、80

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20、已知集合 $A = \{x | 2^{x} ＜ 4\}$ ， $B = \{x | \log_{\frac{1}{3}} x ＞ - 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(- \infty, 3)$ D、 $\emptyset$

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	觉得交通拥堵	觉得交通不拥堵	合计
燃油车车主	30	20	50
新能源车车主	25	25	50
合计	55	45	100

变量	1	2	3	…	n	平均数	方差
X	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	…	$x_{n}$	$\bar{x}$	$σ_{1}^{2}$
Y	$10 x_{1}$	$10 x_{2}$	$10 x_{3}$	…	$10 x_{n}$	$\bar{y}$	$σ_{2}^{2}$
Z	$z_{1}$	$z_{2}$	$z_{3}$	…	$z_{n}$	$\bar{z}$	$σ_{3}^{2}$

$α$	0.100	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828