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相关试卷

1、费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径 $M N$ 为6，且 $M N$ 与 $x$ 轴交于点 $(- 2, 0)$ ．平行于 $x$ 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点 $(2, 0)$ 处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

(1)、设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线 $C$ ，试判断 $C$ 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．

(2)、设曲线 $F$ 为解析式同 $C$ 的完整圆锥曲线，直线 $l$ 与 $F$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $H$ ，交 $x$ 轴于点 $Q$ （点 $Q$ 不与 $F$ 的顶点重合）．若 $\vec{H Q} = k_{1} \vec{Q A} = k_{2} \vec{Q B}$ ， $k_{1} + k_{2} = - \frac{8}{3}$ ，试求出点 $Q$ 所有可能的坐标．

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2、意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第 $n$ 个月的兔子对数为 $f_{n}$ ，则 $f_{1} = 1, f_{2} = 1, f_{3} = 2, f_{4} = 3, f_{5} = 5 \dots$ ，观察数列 $\{f_{n}\}$ 的规律，不难发现， $f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_{n} (n \in N^{*})$ ，我们称该数列为斐波那契数列.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是斐波那契数列，求出 $a_{1} + a_{5}$ 和 $a_{2} + a_{6}$ 的值，并证明 $a_{n} + a_{n + 4} = 3 a_{n + 2}$ .

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是斐波那契数列，且 $b_{n} = a_{n + 1} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a_{n}$ ，求证：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(3)、若数列 $\{a_{n}\}$ 是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e \in [\frac{\sqrt{2}}{2}, 1), P (0, 2)$ 为 $C$ 的上顶点， $D$ 为椭圆 $C$ 上任意一点，且满足 $|P D|$ 的最大值为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M (- \frac{5}{2}, \frac{3}{2}), T (- 2, 1)$ .过点 $T$ 的直线 $l$ （斜率存在且不为1）与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点.证明： $M T$ 平分 $∠ A M B$ .

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{4}$ ， $a_{6}$ ， $a_{9}$ 成等比数列．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ ．

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5、已知正四面体 $P - A B C$ 的棱长为4，空间内动点 $M$ 满足 $|\vec{M A} + \vec{M B}| = 2 \sqrt{2}$ ，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P C}$ 的最大值为.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 各项均为正数，且首项为1， $\frac{n + 2}{a_{n + 1}^{2}} + \frac{2}{a_{n + 1} a_{n}} = \frac{n}{a_{n}^{2}}$ ，则 $a_{20} =$ ．

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7、如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = \frac{1}{3} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于点 $A$ ，过点 $C (0, 2)$ 作 $A O$ 的平行线交双曲线于点 $B$ ，连接 $A B$ 并延长与 $y$ 轴交于点 $D (0, 4)$ ，则 $k$ 的值为．

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8、已知直线 $l : y = k x (k \neq 0)$ 交椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 于A，B两点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆的左、右顶点，在椭圆上与 $F_{2}$ 关于直线l的对称点为Q，则（）

A、若 $k = 1$ ，则椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、若 $k_{M A} k_{M B} = - \frac{1}{3}$ ，则椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $l / / F_{1} Q$ D、若直线 $B Q$ 平行于x轴，则 $k = \pm \sqrt{3}$

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9、已知圆 $M : x^{2} - 2 a x + y^{2} = 0 (a > - \frac{1}{2})$ ，过点 $P (- 1, 0)$ 向圆 $M$ 引斜率为 $k (k > 0)$ 的切线 $l$ ，切点为 $Q$ ，记 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则（）

A、 $C$ 的渐近线为 $x = 1$ B、点 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$ 在 $C$ 上 C、 $C$ 在第二象限的纵坐标最大的点对应的横坐标为 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ D、当点 $(x_{0}, y_{0})$ 在 $C$ 上时， $y_{0} \leq \sqrt{\frac{1 + x_{0}}{1 - x_{0}}}$

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10、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 满足棱长都相等且 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， D是棱 $C C_{1}$ 的中点，E是棱 $A A_{1}$ 上的动点．设 $A E = x$ ，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（）

A、先增大再减小 B、减小 C、增大 D、先减小再增大

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11、图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{7} A_{8} = 1$ ，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记 $O A_{1}$ ， $O A_{2}$ ， …， $O A_{n}$ 的长度构成的数列为 $\{a_{n}\}$ ，则 $a_{100} =$ （）

A、 $\frac{1}{10}$ B、1 C、10 D、100

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12、已知抛物线C： $x^{2} = 12 y$ 和圆 $M : x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y + 4 = 0$ ，点 $F$ 是抛物线 $C$ 的焦点，圆 $M$ 上的两点 $A, B$ 满足 $A O = 2 A F, B O = 2 B F$ ，其中 $O$ 是坐标原点，动点 $P$ 在圆 $M$ 上运动，则 $P$ 到直线 $A B$ 的最大距离为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $4 + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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13、已知 $A (m, 2), B (n, 3)$ ， C是抛物线 $M : x^{2} = 4 y$ 上的三个点，F为焦点， $D (4, 3)$ ，点C到x轴的距离为d，则 $|A F| + |B F| + |C D| + d$ 的最小值为（）

A、10 B、 $6 + 2 \sqrt{5}$ C、11 D、 $7 + 2 \sqrt{5}$

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14、若点 $P (2, 3)$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y + a = 0$ 外，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 11, + \infty)$ B、 $(- 11, 2)$ C、 $(- 8, 2)$ D、 $(- 8, + \infty)$

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15、直线 $l_{1} : (3 a + 1) x + 2 a y - 1 = 0$ 和直线 $l_{2} : a x - 3 y + 3 = 0$ ，则“ $a = \frac{5}{3}$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、向量 $\vec{a} = (2 x, 1, 3)$ ， $\vec{b} = (1, - 2 y, 9)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x = - \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{2}{3}$ B、 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = - \frac{3}{2}$ C、 $x = \frac{1}{2}$ ， $y = - \frac{1}{2}$ D、 $x = y = 1$

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17、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、命题“ $\exists x \in R$ ， $1 < f (x) \leq 2$ ”的否定是“ $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq 1$ 或 $f (x) > 2$ ” C、若 $x \in R$ ，则函数 $y = \sqrt{x^{2} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4}}$ 的最小值为2 D、当 $x \in R$ 时，不等式 $k x^{2} - k x + 1 > 0$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $[0, 4)$

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18、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{a}{x} - 1, x \geq 4, \\ a^{x - 3}, x < 4 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 4]$ C、 $(1, 8]$ D、 $(1, 16]$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (t - 1) > 0$ .

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20、已知正数a，b满足 $a b = a + b + 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、 $a b$ 的最小值为 $1 + \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$ D、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最小值为 $16 \sqrt{2}$

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