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相关试卷

1、已知幂函数 $f (x)$ 的图像经过点 $(8, 4)$ ，则下列命题正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 为增函数 B、函数 $f (x)$ 为偶函数 C、若 $x > 1$ ，则 $f (x) > 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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2、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}, g (x) = 2^{x} + a$ ，若 $\forall x_{1} \in [\frac{1}{2}, 3]$ ， $\exists x_{2} \in [2, 3]$ ，使得 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $(- \infty, \frac{1}{3}]$ D、 $[- 4, + \infty)$

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3、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 为奇函数，且 $f (x + 1)$ 为偶函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则 $f (2023) + f (2024) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、8

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5、不等式 ${log}_{2} (x^{2} - 1) < 1$ 的解集是（）

A、 $(- \sqrt{3}, \sqrt{3})$ B、 $(1, \sqrt{3})$ C、 $(- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3})$ D、 $(- \sqrt{3}, - 1) \cup (1, \sqrt{3})$

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6、函数 $y = 3^{x}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7、命题“ $\forall x \in R, x^{2} - 3 x + 3 < 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} - 3 x + 3 > 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} - 3 x + 3 > 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} - 3 x + 3 \geq 0$

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8、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（ $n \in N^{*}$ ）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，则 $p_{1}$ 的值是； $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ 是.

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上的最值．

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10、得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = \cos x$ 图象上所有点的坐标（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变） C、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度

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11、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $\vec{a} = (2, 0)$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} + 2 \vec{b}| =$ （　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $12$

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12、在椭圆 $E : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 中，A、B是左右顶点，P是椭圆E上位于x轴上方的一点．直线PA、PB分别交直线 $l : x = m$ 于M、N两点，PA、PB的斜率分别记为 $k_{1} 、 k_{2}$ ．

(1)、求 $k_{1} k_{2}$ 的值；

(2)、若线段PB的中点Q恰好在以MN为直径的圆上，求m的取值范围．

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13、已知F是双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的右焦点，过F作渐近线的垂线，垂足为 $P (1, 1)$ ．

(1)、求双曲线E的标准方程；

(2)、过P作直线l与双曲线E交于两点A、B，记FA、FB的斜率（斜率均有在）分别为 $k_{1} 、 k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 是定值，并求出这个值．

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14、某厂为了提高产品的生产效率，对该厂的所有员工进行了一次业务考核，从参加考核的员工中，选取50名员工将其考核成绩分成六组第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、利用频率分布直方图中的数据估计本次考核成绩的平均数；

(2)、已知考核结果有优秀、良好、一般三个等级，其中考核成绩不小于90分时为优秀等级，不少于80且低于90分时为良好等级，其余成绩为一般等级．若从获得优秀和良好等级的两组员工中，随机抽取5人进行操作演练，其中考核获得良好等级的员工每人每小时大约能加工80件产品，优秀员工每人每小时大约能加工90件产品，求本次操作演练中，产品的人均生产量不少于84件的概率．

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15、如图甲，在直角边长为 $4$ 的等腰直角三角形 $A B C$ 中， $D E // B C$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，使点 $A$ 到达点 $P$ 的位置，连接 $P B$ 、 $P C$ ，得到如图乙所示的四棱锥 $P - B D E C$ ， $M$ 为线段 $B C$ 的中点．

(1)、求证： $D E ⊥ P M$ ；

(2)、当翻折到平面 $P D E ⊥$ 平面 $B D E C$ 时，求平面 $P D E$ 与平面 $P D B$ 的夹角的余弦值．

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16、在平面直角坐标系中，已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 8 y + 12 = 0$ ，直线 $l : (3 m + 1) x + (1 - m) y - 4 = 0$ ．

(1)、求证：直线 $l$ 与圆 $C$ 总有两个不同的交点；

(2)、在① $\overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B} = 0$ ， ② $|\overset{⃑}{A B}|$ 最小，③过A，B两点分别作圆 $C$ 的切线，切线交于点 $P (2, 2)$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解；
设圆 $C$ 的圆心为 $C$ ，直线 $l$ 与圆 $C$ 交于A，B两点，当__________时，求直线 $l$ 的方程．

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17、已知光线经过点 $M (2, 3)$ ，在直线 $l : x + y + 1 = 0$ 上反射，且反射光线经过点 $N (1, 1)$ ，求：

(1)、入射光线与直线l的交点．

(2)、入射光线与反射光线所在直线的方程．

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18、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点和右焦点，过 $F_{2}$ 的直线l与双曲线的右支交于A，B两点（其中A在第一象限）， $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $r_{2}$ ，若 $r_{1} = 3 r_{2}$ ，则直线l的斜率为．

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19、某班级从A，B，C，D，E这5位学生中任选2人参加学校组织的“亚运有我，爱答未来”的亚运知识竞赛活动，则学生A被选中，学生B没被选中的概率为．

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20、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{k} : {(x - k)}^{2} + {(y - \sqrt{3} k)}^{2} = 4$ ，则（）

A、无论k取何值，圆心 $C_{k}$ 始终在直线 $y = \sqrt{3} x$ 上 B、若圆O与圆 $C_{k}$ 有公共点，则实数k的取值范围为 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ C、若圆O与圆 $C_{k}$ 的公共弦长为 $\frac{\sqrt{15}}{2}$ ，则 $k = \pm 1$ 或 $k = \pm \frac{3}{4}$ D、与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当 $k = \pm \frac{3}{2}$ 时，两圆的外公切线长为 $2 \sqrt{2}$

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