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相关试卷

1、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F，G分别为BC， $C C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，则下列结论中正确的是（　　）

A、 $D_{1} D ⊥ A F$ B、点G到平面 $A E F$ 的距离是点C到平面 $A E F$ 的距离的2倍 C、 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ D、异面直线 $A_{1} G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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2、已知集合 $U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}, A = {2, 5, 7, 13}, B = {3, 7, 13, 17}, C = {7, 13}$ ，则下列关系正确的是（）

A、 $(∁_{U} A) \cap (∁_{U} B) = ∁_{U} (A \cup B)$ B、 $∁_{U} (∁_{U} A) = ∁_{U} (∁_{U} B)$ C、 $A \cap C = B \cap C$ D、 $∁_{U} (A \cap B) = ∁_{U} C$

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3、辅助角公式是我国清代数学家李普兰发现的用来化简三角函数的一个公式，其内容为 $a \sin x + b \cos x = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \sin (x + φ)$ ．已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ （其中 $a \neq 0$ ， $b \in R$ ， $\tan φ = \frac{b}{a}$ ）．若 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{π}{2}) > f (\frac{π}{4})$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增 D、过点 $(a, b)$ 的直线与 $f (x)$ 的图象一定有公共点

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4、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0]$ 上是增函数，记 $a = f (\log_{5} \frac{1}{2})$ ， $b = f (\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{5})$ ， $c = f ({(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{5}})$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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5、若 $\sin θ = - 2 \cos θ$ ，则 $\sin θ (\sin θ + \cos θ) =$ （）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{6}{5}$

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6、i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + 2 i} =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- i$ D、 $i$

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7、函数 $f (x) = \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 5}$ 的定义域是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $[- 5, + \infty)$ C、 $[- 5, 2]$ D、 $(- \infty, - 5] \cup [2, + \infty)$

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8、定义：一个正整数 $n$ 称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列 $a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}$ ，满足①②：
① $a_{1} < a_{2} < ... < a_{k - 1} < a_{k} = n (k \geq 2)$ ；
② $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + ... + \frac{1}{a_{k}} = 1$ ．

(1)、写出最小的“漂亮数”；

(2)、若 $n$ 是“漂亮数”，证明： $n^{3}$ 是“漂亮数”；

(3)、在全体满足 $k = 4$ 的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数” $n$ ，求 $n - 1$ 是质数的概率．

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \log_{16} x, x \leq 2 \\ 2 f (x - 1,) x > 2 \end{array}$ 则 $f (4) =$ ．

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10、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t - 1$ B、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ 与 $g (x) = \frac{x}{x^{2}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 1} \cdot \sqrt{x - 1}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

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11、已知抛物线 $C : x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F, P$ 是抛物线 $C$ 上的一点， $O$ 为坐标原点， $|O P| = 4 \sqrt{3}$ ，则 $|P F| =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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12、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足 $(b - a) (sin B + sin A) = c (sin C - sin A)$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $\frac{a c - b c - a b}{b^{2}}$ 的取值范围．

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13、O为空间任意一点，若 $\vec{O P} = \frac{3}{4} \vec{O A} + \frac{1}{8} \vec{O B} + t \vec{O C}$ ，若ABCP四点共面，则 $t =$ ．

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14、下面四个结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a}, \vec{b} (\vec{a} \neq 0, \vec{b} \neq 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ B、若空间四个点 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $\vec{P C} = \frac{1}{4} \vec{P A} + \frac{3}{4} \vec{P B}$ ，则 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线 C、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, x)$ ， $\vec{b} = (- 2, x, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = - 2$ D、任意向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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15、设自然数 $n \geq 3$ ，若由n个不同的正整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 构成的集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B，A中所有元素之和与B中所有元素之和均不相等，则称集合S具有性质P．

(1)、试分别判断在集合 $S_{1} = {1, 2, 3, 4}$ 与 $S_{2} = {1, 2, 4, 8}$ 是否具有性质P，不必说明理由；

(2)、已知集合 $S = {a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 具有性质P．
①记 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ ，求证：对于任意正整数 $k \leq n$ ，都有 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 2^{k} - 1$ ；
②令 $d_{i} = a_{i} - 2^{i - 1}$ ， $D_{k} = \sum_{i = 1}^{k} d_{i}$ ，求证： $D_{k} \geq 0$ ；

(3)、在（2）的条件下，求 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}$ 的最大值．

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，已知 $E$ 为棱 $A D$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $H$ 为线段 $E C$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上一点.

(1)、若 $C M = 2 M P$ ，求证： $P E / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若 $P B ⊥ E M, P C = E C$ ，确定点 $M$ 的位置，并求二面角 $B - E M - C$ 的余弦值.

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17、若 $e^{x} \geq (a + 1) x + b$ 对一切 $x \in R$ 恒成立，则 $(a + 1) b$ 的最大值为.

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18、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x + 3, & x \leq 2 \\ 6 + \log_{a} x, & x > 2 \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若函数 $f (x)$ 的值域是 $(- \infty, 4]$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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19、已知函数 $f (x) = \cos 2 x$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + Δ x) - f (\frac{π}{6})}{Δ x} =$ .

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20、若 $\log_{a} b > 1$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $a < b$ B、 $a b + 1 > a + b$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $a + \frac{1}{a} < b + \frac{1}{b}$

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