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相关试卷

1、已知 $a, b, c$ 为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边，其中 $C = \frac{π}{3}, a = 2, △ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，则线段 $C D$ 的长为．

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2、某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）：

武术组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为．

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3、已知| $\vec{a}$ |=1，| $\vec{b}$ |= $\sqrt{2}$ ，且 $\vec{a}$ - $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 垂直，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为

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4、 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（）

A、 $a = \sqrt{3}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ， $A = 45 °$ ，有两解 B、面积S满足 $a^{2} - 4 S = c^{2} + b^{2}$ ，则 $A = \frac{3 π}{4}$ C、 $\cos A = \frac{1}{3}$ ， $b = 2$ ， $c = 3$ ，则BC边上的高为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、若 $b \sin 2 A + \sqrt{3} a \sin B = 0$ ， $b = \sqrt{3} c$ ，则 $\frac{a}{c}$ 的值为 $\sqrt{7}$

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5、已知i是虚数单位，z是复数，则下列叙述正确的是（）

A、若 $m \in R$ ，则 $z = m + 1 + (m^{2} - 2 m - 3) i$ 不可能是纯虚数 B、 $z = 2 + 3 i$ 是关于x的方程 $x^{2} + 4 x + 13 = 0$ 的一个根 C、 $z \cdot \bar{z} = {|z|}^{2} = {|\bar{z}|}^{2}$ D、若 $|z| \leq 1$ ，则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为 $2 π$

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6、骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 $A$ （前轮），圆 $D$ （后轮）的直径均为2， $△ A B E, △ B E C, △ E C D$ 均是边长为2的等边三角形．设点 $P$ 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， $\vec{A P} \cdot \vec{B D}$ 的最大值为（）

A、 $12 \sqrt{3}$ B、 $12 + 2 \sqrt{3}$ C、 $12 + 4 \sqrt{3}$ D、12

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7、 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = \sqrt{3} c$ ， $B = \frac{π}{6}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则 $b =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $3$

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8、容量为8的样本：3.5，3.8，4.2，4.8，5，5，5.5，6.3，其第75百分数是（）

A、6 B、5.25 C、5 D、5.5

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9、已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ B、若 $l / / α$ ， $α // β$ ，则 $l // β$ C、若 $l / / α$ ， $l \subset β$ ，则 $α \cap β = m$ ，则 $l // m$ D、若 $l \subset α$ ， $l // β$ ， $m \subset β$ ， $m / / α$ ，则 $α // β$

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10、利用斜二测画法画出 $△ A B O$ 的直观图（如图），已知 $O^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} ∥ y^{'}$ 轴，过 $A^{'}$ 作 $A^{'} C^{'} ⊥ x$ 轴于 $C^{'}$ ，若 $△ A B O$ 的面积为4，则 $A^{'} C^{'}$ 的长为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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11、若 $\sin (\frac{π}{2} + α) = \sqrt{2} \sin α$ ，则 $\tan (π - 2 α) =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $- 2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $- 4 \sqrt{2}$

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12、设复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = |1 + 2 \sqrt{6} i|$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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13、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长和焦距相等，长轴长是 $2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、直线l与椭圆C相交于P，Q两点，原点O到直线l的距离为 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$ ．点M在椭圆C上，且满足 $\vec{O M} = \vec{O P} + \vec{O Q}$ ，求直线l的方程．

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14、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 4$ ， $A D = 2$ ， $\vec{A E} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ .

(1)、证明： $A C ⊥$ 平面 $D D_{1} E$ ；

(2)、求直线 $D_{1} E$ 与平面 $D E C_{1}$ 所成角的正弦值.

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15、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ），直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点．

(1)、若点 $(4, 0)$ 是双曲线 $C$ 的一个焦点，求双曲线 $C$ 的渐近线方程；

(2)、若点 $P$ 的坐标为 $(- \sqrt{2}, 0)$ ，直线 $l$ 的斜率等于1，且 $|P Q| = \frac{8}{3}$ ，求双曲线 $C$ 的离心率．

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16、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，且满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $\sin A \cdot \sin B$ 的最大值.

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17、已知半径为2的圆 $C$ 的圆心在射线 $y = x (x > 0)$ 上，点 $A (- 1, 1)$ 在圆 $C$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求过点 $B (- 1, 0)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程．

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18、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{3} = 15, S_{12} = 222$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19、已知各项均为正数的递增等差数列 $\{a_{n}\}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，公差为d，若数列 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 也是等差数列，则 $a_{1} + \frac{8}{d + 2}$ 的最小值为．

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20、已知四位数 $4521$ ，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为.

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