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相关试卷

1、若曲线 $y = (a x + 1) ln x$ 有两条过坐标原点的切线，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{e^{2}})$ B、 $(0, e^{2})$ C、 $(- \infty, \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(\frac{1}{e^{2}}, e^{2})$

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 1, \sqrt{3})$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\sqrt{3}, - 1)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - 1)$ C、 $(1, - \sqrt{3})$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$

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3、某圆锥的轴截面是腰长为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2} π$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、 $\sqrt{2} π$

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4、已知直线 $m$ 和平面 $α$ ，则“ $m ⊄ α$ ”是“直线 $m$ 与平面 $α$ 无公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、设随机变量 $X \sim B (16, \frac{3}{4})$ ，则 $X$ 的数学期望为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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6、复数 ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、 $2 - 2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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7、已知 $z_{1}, z_{2} \in C$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ B、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ C、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ D、 $\bar{z_{1} \cdot z_{2}} = \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}$

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8、下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $2 \vec{a} < 3 \vec{b}$ C、对任意非零向量 $\vec{a}$ ， $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 是和它同向的一个单位向量 D、零向量没有方向

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9、已知向量 $\vec{a} = (4, m)$ ， $\vec{b} = (m - 2, 2)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $m =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、 $- 2$ D、 $- 2$ 或4

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} (x - a e^{x})$ ， $a \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $a = - 1$ 时， $f (x)$ 有唯一零点 B、当 $a > \frac{1}{2}$ 时， $f (x)$ 是减函数 C、若 $f (x)$ 只有一个极值点，则 $a \leq 0$ 或 $a = \frac{1}{2}$ D、当 $a = 1$ 时，对任意实数 $t$ ，总存在实数 $x_{1}, x_{2}$ ，使得 $f^{'} (t) = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$

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11、克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号. 如图，半圆 $O$ 的直径为2cm， $A$ 为直径延长线上的点， $O A =$ 2 cm， $B$ 为半圆上任意一点，且三角形 $A B C$ 为正三角形.

(1)、当 $∠ A O B$ $= \frac{π}{3}$ 时，求四边形 $O A C B$ 的周长；

(2)、当 $B$ 在什么位置时，四边形 $O A C B$ 的面积最大，并求出面积的最大值；

(3)、若 $O C$ 与 $A B$ 相交于点 $D$ ，则当线段 $O C$ 的长取最大值时，求 $\vec{O D} \cdot \vec{A B}$ 的值.

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12、已知函数 $f (x) = sin 2 x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \sqrt{3} {sin}^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期及单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，横坐标也缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，得到函数 $g (x)$ 的图象，若函数 $y = g (x) - m$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 内有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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13、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点．

(1)、证明： $P B / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、设 $A P = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，三棱锥 $P - A B D$ 的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $A$ 到平面 $P B C$ 的距离.

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14、某中学为了调查高一年级学生劳动实践活动情况，对 $500$ 名学生某周的劳动时间统计如下：
周劳动时间（小时）
$[1, 2)$
$[2, 3)$
$[3, 4)$
$[4, 5)$
$[5, 6]$
人数
20
80
140
200
60

(1)、根据提供的数据，直接在答题卡中补充完整周劳动时间的频率分布直方图（用阴影填涂，不需要书写具体步骤）；

(2)、求周劳动时间的平均数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)、根据图表，估计周劳动时间的样本数据 $80 %$ 分位数.

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15、在 $△ A B C$ 中， $A Q$ 为 $B C$ 边上的高， $A Q = 2$ ， $\vec{A B} \sin B + \vec{A C} \sin C = \vec{A Q}$ ， $H$ 为 $A C$ 边上一点，且 $\vec{A H} = \frac{1}{4} \vec{A C}$ ，则 $B H =$ ．

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16、已知复数 $z_{1} = a - 2 i$ ， $z_{2} = 2 + i$ （ $i$ 为虚数单位），若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 为纯虚数，则实数 $a =$ ．

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17、在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D_{1}}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $μ = 1$ 时，对任意 $λ \in [0, 1]$ ， $C P //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ 恒成立 B、当 $λ = 0$ 时， $P C$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ C、当 $λ = 0$ 时， $B_{1} P$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成的最大角的正切值为 $2 \sqrt{2}$ D、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时，四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球的表面积是 $\frac{9 π}{4}$

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18、已知事件 $A, B$ 发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (B) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、一定有 $A \subseteq B$ B、 $\frac{1}{3} \leq P (A \cup B) \leq \frac{7}{12}$ C、若 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = \frac{1}{2}$ D、若 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$

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19、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是任意的非零向量，下列命题中正确的是（）

A、若 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ， $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > \frac{1}{2} ， x \in$ $R)$ ，若 $f (x)$ 的图象的任意一条对称轴与 $x$ 轴交点的横坐标均不属于区间 $(3 π, 4 π)$ ，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3}] \cup [\frac{8}{9}, \frac{7}{6}]$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{17}{24}] \cup [\frac{17}{18}, \frac{29}{24}]$ C、 $[\frac{5}{9}, \frac{2}{3}] \cup [\frac{8}{9}, \frac{11}{12}]$ D、 $[\frac{11}{18}, \frac{17}{24}] \cup [\frac{17}{18}, \frac{23}{24}]$

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周劳动时间（小时）	$[1, 2)$	$[2, 3)$	$[3, 4)$	$[4, 5)$	$[5, 6]$
人数	20	80	140	200	60