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相关试卷

1、若函数 $f (x) = x^{2} - 2 x - a (\frac{1}{1 + |x - 1|} - a) (a > 0)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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2、海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深 $H (t)$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $h$ ）之间满足关系式： $H (t) = 3 sin ω t + 5 (ω > 0)$ ，且当地潮汐变化的周期为 $T = 12.4 h$ ．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 $5 m$ ，安全条例规定至少要有 $1.5 m$ 的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留h．

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3、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{|x|}$ 的单调递增区间是．

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4、一个扇形的弧长和面积都是 $\frac{2π}{3}$ ，则这个扇形的半径为．

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5、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (x + 2) = 0, f (x + 1)$ 为奇函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a \cdot 2^{x} + b$ ，若 $f (0) = - 1$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $a + b = - \frac{1}{2}$ C、 $f ({log}_{2} 24) = - \frac{1}{2}$ D、 $f (x + 2)$ 为偶函数

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6、已知函数 $f_{k} (x) = {sin}^{2 k} x + {cos}^{2 k} x (k \in N^{*})$ ，值域为 $A_{k}$ ，则（）

A、 $A_{2} = [\frac{1}{2}, 1]$ B、 $\forall k \in N^{*}, f_{k} (x)$ 的最大值为1 C、 $\forall k \in N^{*}, A_{k + 1} \subseteq A_{k}$ D、 $\exists k \in N^{*}$ ，使得函数 $f_{k} (x)$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$

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7、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \geq \frac{1}{8}$ B、 $a^{2} + b^{2} > 1$ C、 $(a - \frac{1}{2}) (b - \frac{1}{2}) \leq 0$ D、 $ln \frac{1}{a} + ln \frac{1}{b} > 1$

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8、已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(4, 2)$ ，则（）

A、 $α = \frac{1}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象经过点 $(1, 1)$ C、 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上单调递增 D、不等式 $f (x) \geq x$ 的解集为 $\{x ∣ x \leq 1\}$

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9、设函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ ，则下列函数是奇函数的是（）

A、 $f (x + 1) + 2$ B、 $f (x - 1) + 2$ C、 $f (x - 1) - 2$ D、 $f (x + 1) - 2$

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10、已知 $α, β$ 都是锐角， $cos (α + β) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}, sin α = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，则 $cos β =$ （）

A、 $\frac{9 \sqrt{2}}{10}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{10}$

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11、已知 $a, b, m \in (0, + \infty)$ ，则“ $a > b$ ”是“ $\frac{b + m}{a + m} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3^{x} - 1, x \leq 1 \\ \frac{1}{2} f (x - 1), x > 1 \end{cases}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $2$ D、 $4$

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13、已知 $sin (π + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $sin α =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $- \frac{3}{5}$

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14、已知集合 $A = \{x |2 \leq x < 4\}, B = \{x |x \geq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[2, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[3, + \infty)$

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15、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，焦点到渐近线的距离为 $1$ ，过点 $M (0, 4)$ 作直线 $A B$ （不与 $y$ 轴重合）与双曲线 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，过点 $A$ 作直线 $l : y = t$ 的垂线 $A E, E$ 为垂足．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、是否存在实数 $t$ ，使得直线 $E B$ 过定点 $P$ ，若存在，求 $t$ 的值及定点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1}, y_{1})$ 是曲线 $C$ 上一点．

(1)、若 $|A F| = \frac{5}{4} y_{1}$ ，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若直线 $l : y = x + m$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且以 $A B$ 为直径的圆过点 $P (4, 0)$ ，求 $| A B |$ .

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17、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $8 S_{n} = a_{n}^{2} + 4 a_{n} + 4$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \{\begin{cases} 2^{n - 1} n 为奇数 \\ \frac{1}{2} a_{n - 1} n 为偶数 \end{cases}$ ， ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{2 n}$ .

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18、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $a = 1$ 时，直线 $l : y = k x$ 为曲线 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2}$ 的切线，求实数 $k$ 的值．

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19、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1, B C = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ，四边形 $A C E F$ 为正方形，且平面 $A B C D ⊥$ 平面 $A C E F$ .

(1)、证明： $A B ⊥ C F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $A D F$ 夹角的余弦值.

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20、高斯函数 $y = [x]$ 是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中 $x \in R, [x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[π] = 3, [- 3.5] = - 4$ .已知 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ，设 $\{\frac{a_{n}}{a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{[S_{n}]\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .则（1） $T_{3} =$ ；（2）满足 $T_{n} \geq 2024$ 的最小正整数 $n$ 为．

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