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相关试卷

1、圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为 $(15 \sqrt{3} - 15)$ m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是 $15 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为 $30 °$ ，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）

A、20m B、30m C、 $20 \sqrt{3}$ m D、 $30 \sqrt{3}$ m

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2、如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且 $\frac{C F}{C B} = \frac{C G}{C D} = \frac{2}{3}$ ，则（　　）

A、EF与GH互相平行 B、EF与GH异面 C、EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D、EF与GH的交点M一定在直线AC上

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3、如图，一个水平放置的三角形 $A B O$ 的斜二测直观图是等腰直角三角形 $A^{'} B^{'} O^{'}$ ，若 $B^{'} A^{'} = B^{'} O^{'} = 1$ ，那么原三角形 $A B O$ 的周长是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{2} + 2$ D、 $2 \sqrt{2} + 4$

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4、已知m，n表示两条不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m / / α$ ， $n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m / / α$ D、若 $α ⊥ β$ ， $α ⊥ γ$ ，则 $β / / γ$

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5、如图所示，有一条“ $L$ ”形河道，其中上方河道宽 $\sqrt{2} m$ ，右侧河道宽 $\sqrt{6} m$ ，河道均足够长.现过点 $D$ 修建一条栈道 $A B$ ，开辟出直角三角形区域（图中 $△ O A B$ ）养殖观赏鱼，且 $∠ O A B = θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ .点 $H$ 在线段 $A B$ 上，且 $O H ⊥ A B$ .线段 $O H$ 将养殖区域分为两部分，其中 $O H$ 上方养殖金鱼， $O H$ 下方养殖锦鲤.

(1)、养殖区域面积最小时，求 $θ$ 值，并求出最小面积；

(2)、若游客可以在栈道 $A H$ 上投喂金鱼，在河岸 $O B$ 与栈道 $H B$ 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求 $θ$ 的取值范围.

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6、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且向量 $\vec{m} = (c, a - b)$ ， $\vec{n} = (\sin B - \sin C, \sin A + \sin B)$ ， $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的周长为 $l$ ，面积为 $S$ ，求 $\frac{S}{l}$ 的最大值.

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7、如图所示，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $x O y$ 中的坐标.

(1)、设 $\vec{O M} = (0, 3)$ ， $\vec{O N} = (4, 0)$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值；

(2)、若 $\vec{O P} = (3, 4)$ ，求 $|\vec{O P}|$ 的大小.

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8、在解析几何中，设 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}, y_{2})$ 为直线 $l$ 上的两个不同的点，则我们把 $\vec{P_{1} P_{2}}$ 及与它平行的非零向量都称为直线 $l$ 的方向向量，把与直线 $l$ 垂直的向量称为直线 $l$ 的法向量，常用 $\vec{n}$ 表示，此时 $\vec{P_{1} P_{2}} \cdot \vec{n} = 0$ .若点 $P \notin l$ ，则可以把 $\vec{P P}$ 在法向量 $\vec{n}$ 上的投影向量的模叫做点 $P$ 到直线 $l$ 的距离.现已知平面直角坐标系中， $P (- 2, - 2)$ ， $P_{1} (2, 1)$ ， $P_{2} (- 1, 3)$ ，则点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为.

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9、如图所示，在边长为3的等边三角形 $A B C$ 中， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，且点 $P$ 在以 $A D$ 的中点 $O$ 为圆心， $O A$ 为半径的半圆上，若 $\vec{B P} = x \vec{B A} + y \vec{B C}$ ，则（）

A、 $\vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B A} + \frac{2}{3} \vec{B C}$ B、 $x + y$ 的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\vec{B P} \cdot \vec{B C}$ 最大值为9 D、 $\vec{B O} \cdot \vec{D O} = 1$

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10、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) + 1$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ ，满足 $f (x) + f (- \frac{π}{3} - x) = 2$ ，且对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \geq f (- \frac{5 π}{12})$ ，当 $ω$ 取最小值时，则下列正确的是（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6}, 1) k \in Z$ B、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{6}]$ 上的值域为 $[\sqrt{3} + 1, 3]$ C、将 $y = 2 \sin 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $f (x)$ 的图象 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递减

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11、下列命题正确的是（）

A、设 $α$ 是第一象限角，则 $\frac{α}{2}$ 为第一或第三象限角 B、 $\sqrt{3} \sin α + \cos α = 2 \sin (α + \frac{π}{3})$ C、在 $△ A B C$ 中，若点 $O$ 满足 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则 $O$ 是 $△ A B C$ 的重心 D、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$

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12、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是 $f (x)$ 的两个零点，若 $x_{2} = 4 x_{1}$ ，则下列不为定值的量是（）

A、 $φ$ B、 $ω$ C、 $ω x_{1}$ D、 $\frac{ω x_{1}}{φ}$

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13、《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）

A、4 B、5 C、6 D、7

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14、下列四个函数中的某个函数在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的大致图象如图所示，则该函数是（）

A、 $y = \frac{x^{3} - x}{2^{x} + 2^{- x}}$ B、 $y = \frac{x cos 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$ C、 $y = \frac{1 - x^{2}}{2^{x} + 2^{- x}}$ D、 $y = \frac{sin 2 x}{2^{x} + 2^{- x}}$

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15、青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足 $L = 5 + \lg V$ ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ $\sqrt[10]{10} \approx 1.259$ ）

A、1.5 B、1.2 C、0.8 D、0.6

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16、在三角形 $A B C$ 中， $A C = 3, A B = 4, ∠ C A B = 120 °$ ，则 $(\vec{A B} + \vec{C A}) \cdot \vec{A B} =$ （）

A、10 B、22 C、 $- 10$ D、 $- 22$

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17、函数 $y = \frac{2 x^{3}}{2^{x} + 2^{- x}}$ 在 $[- 6, 6]$ 的图像大致为

A、 B、 C、 D、

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18、已知向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ 满足 $| \overset{⃑}{a} | = 1, | \overset{⃑}{b} | = \sqrt{3}, | \overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b} | = 3$ ，则 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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19、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 4$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当实数 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + k \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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20、已知直角梯形 $A B C D, A = 90 °, A B / / C D, A D = D C = \frac{1}{2} A B = 1, P$ 是 $B C$ 边上的一点，则 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{P C}$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $[- 2, 0]$

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