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相关试卷

1、某校开展数学专题实践活动，要求就学校新建的体育馆进行研究，为了提高研究效率，小王和小李打算分工调查测量并绘图，完成两个任务的研究．

(1)、小王获得了以下信息：
$a$ ．教学楼 $A B$ 和体育馆 $C D$ 之间有一条笔直的步道 $B D$ ；
$b$ ．在步道 $B D$ 上有一点 $M$ ，测得 $M$ 到教学楼顶 $A$ 的仰角是 $45 °$ ，到体育馆楼顶 $C$ 的仰角是 $30 °$ ；
$c$ ．从体育馆楼顶 $C$ 测教学楼顶 $A$ 的仰角是 $15 °$ ；
$d$ ．教学楼 $A B$ 的高度是20米．
请帮助小王完成任务一：求体育馆的高度 $C D$ ．

(2)、小李获得了以下信息：
$a$ ．体育馆外墙大屏幕的最低处到地面的距离是4米；
$b$ ．大屏幕的高度 $P Q$ 是2米；
$c$ ．当观众所站的位置 $N$ 到屏幕上下两端 $P$ ， $Q$ 所张的角 $∠ P N Q$ 最大时，观看屏幕的效果最佳．
请帮助小李完成任务二：求步道 $B D$ 上观看屏幕效果最佳地点 $N$ 的位置．

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2、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $D_{1} C_{1}$ 的中点.
（1）求证： $E 、 F 、 B 、 D$ 四点共面；
（2）求异面直线 $E F$ 与 $A D_{1}$ 所成角的大小.

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3、已知 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ．

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直？

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + m \vec{b}$ 且 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点共线，求 $m$ 的值．

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4、已知角 $α$ 的终边经过点 $(1, 2 \sqrt{2})$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2}) =$

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5、已知向量 $\vec{a} = (y, - 2), \vec{b} = (1, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $y =$ .

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $E, F, G, H$ 分别为 $B B_{1}, C C_{1}, A_{1} B_{1}, A_{1} C_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $E, F, G, H$ 四点共面 B、 $E F / / G H$ C、 $E G, F H, A A_{1}$ 三线不共点 D、 $∠ E G B_{1} = ∠ F H C_{1}$

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7、已知函数 $f (x) = - 2 sin (2 x + φ) (- π < φ < 0)$ ，将函数 $f (x)$ 图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后所得的函数图象过点 $P (0 ， 2)$ ，则函数 $f (x) = - 2 sin (2 x + φ)$ 满足（）

A、 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 B、在区间 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递增 C、 $x = - \frac{π}{6}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴 D、在区间 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{2 π}{3}]$ 上单调递减

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8、设 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $a / / α, b / / α$ ，则 $a ∥ b$ B、若 $a / / α, b / / α, a \subset β, b \subset β$ ，则 $β / / α$ C、若 $α / / β, a \subset α$ ，则 $a / / β$ D、若 $α / / β, b / / α$ ，则 $b / / β$

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9、如图， $△ A O B$ 的斜二测画法的直观图是腰长为 $3 \sqrt{2}$ 的等腰直角三角形， $y^{'}$ 轴经过 $A^{'} B^{'}$ 的中点，则 $|A B| =$ （）

A、6 B、 $3 \sqrt{6}$ C、12 D、 $6 \sqrt{6}$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D = 2 D C$ ，若 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B D} =$ （）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对边为 $a, b, c$ ，且 $2 c \cdot \cos^{2} \frac{A}{2} = b + c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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12、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，点 $E$ 是线段 $B C$ 的中点．

(1)、求 $\vec{A B} \cdot \vec{A E}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A F} = \vec{A E} + λ \vec{A D}$ ，且 $B D ⊥ A F$ ，求 $λ$ 的值．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ A D P = 90 °$ ，平面 $A D P ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点F为棱 $P D$ 的中点.

(1)、在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使得 $A F //$ 平面 $P C E$ ？若存在，求出点 $E$ 的位置；若不存在，请说明理由；

(2)、当二面角 $D - F C - B$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

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14、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = C C_{1} = 1$ ， $M$ 、 $N$ 、 $Q$ 分别为 $A C$ 、 $B_{1} C_{1}$ 、 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、求证： $A_{1} B ⊥$ 平面 $M N Q$ ．

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15、如图，在菱形ABCD中， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 2$ ， $E C = 2 D E$ ， AE交BD于点F．

(1)、若 $\vec{A F} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，求λ和μ的值；

(2)、设P是线段BC的中点，求 $\vec{A F} \cdot \vec{A P}$ 的值．

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16、已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求圆锥的表面积；

(2)、如图，过 $A O$ 的中点 $O_{1}$ 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积．

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17、如图，已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁的棱长为1，点K在棱A₁B₁上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A₁B₁的中点，则截面的面积为．

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 3)$ ，且 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则实数 $x =$ ．

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E为 $B A_{1}$ 的中点，下列判断正确的是（）

A、 $B_{1} C_{1} //$ 平面 $A_{1} B C$ B、直线 $E C_{1}$ 与直线 $A D$ 是异面直线 C、在直线 $A_{1} C_{1}$ 上存在点F，使 $E F ⊥$ 平面 $A_{1} C D$ D、直线 $B A_{1}$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成角是 $\frac{π}{3}$

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20、下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（）

A、 $i^{22} = 1$ B、复数 $z = 3 - 2 i$ 的共轭复数的虚部为2 C、若 $1 - 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = - 8$ D、若复数 $z$ 满足 $|z - i| = 1$ ，则 $|z|$ 的最大值为2

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