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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项不为0，前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，满足 $2 \sqrt{S_{n}} = a_{n} + c (n \in N^{*})$ ．

(1)、证明： $c \leq 1$ ；

(2)、若 $c = 0$ ，证明： $S_{n} \geq {(n + 1)}^{2}$ ；

(3)、是否存在常数 $c$ ，使得 $\{a_{n}\}$ 为等比数列?若存在，求出 $c$ 的所有可能值；若不存在，说明理由．

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2、如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，平面ABCD为等腰梯形， $A B / / C D, A D = C D = \frac{1}{2} A B$ ，平面PAD⊥平面PAB， $P A ⊥ P B$ .

(1)、求证：△PAD为直角三角形；

(2)、若 $A D = P B$ ，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值.

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3、剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}} (a > 0)$ 的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为；以曲线C上点 $(m, n) (m n \neq 0)$ 为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于．

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4、某企业瓷砖生产线上生产的瓷砖某项指标 $X \sim N (800, σ^{2})$ ，且 $P (X < 801) = 0.6$ ，现从该生产线上随机抽取10片瓷砖，记 $Y$ 表示 $800 \leq X < 801$ 的瓷砖片数，则 $E (Y) =$ ．

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5、 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{2} ， ∠ A C B = \frac{π}{4}$ ， O是 $△ A B C$ 外接圆圆心，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{C A} \cdot \overset{⃑}{C B}$ 的最大值为（　　）

A、0 B、1 C、3 D、5

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6、蜜蜂被誉为“天才的建筑师”.蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面 $A B C D E F$ 是正六边形，棱 $A G$ ， $B H$ ， $C I$ ， $D J$ ， $E K$ ， $F L$ 均垂直于底面 $A B C D E F$ ，上顶由三个全等的菱形 $P G H I$ ， $P I J K$ ， $P K L G$ 构成.设 $B C = 1$ ， $∠ G P I = ∠ I P K = ∠ K P G = θ \approx 109^{\circ} 2 8^{'}$ ，则上顶的面积为（）
（参考数据： $cos θ = - \frac{1}{3}$ ， $tan \frac{θ}{2} = \sqrt{2}$ ）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{9 \sqrt{2}}{4}$

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7、已知 $\{a_{n}\}$ 是公比为 $q (q \neq 1)$ 的等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和.若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} < \frac{a_{1}}{1 - q}$ 恒成立，则（）

A、 $\{a_{n}\}$ 是递增数列 B、 $\{a_{n}\}$ 是递减数列 C、 $\{S_{n}\}$ 是递增数列 D、 $\{S_{n}\}$ 是递减数列

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8、“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的学术大师．已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有（）

A、120种 B、180种 C、240种 D、300种

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9、已知圆 $C : x^{2} + 2 x + y^{2} - 1 = 0$ ，直线 $m x + n (y - 1) = 0$ 与圆 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $△ A B C$ 为直角三角形，则（）

A、 $m n = 0$ B、 $m - n = 0$ C、 $m + n = 0$ D、 $m^{2} - 3 n^{2} = 0$

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10、设 $θ \in (0, π)$ ，则“ $θ < \frac{π}{6}$ ”是“ $\sin θ < \frac{1}{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{x} (a \neq 0)$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若存在两条直线 $y = a x + b_{1}$ 、 $y = a x + b_{2}$ $(b_{1} \neq b_{2})$ 都是曲线 $y = f (x)$ 的切线，求实数 $a$ 的取值范围；
（3）若 $\{x |f (x) \leq 0\}$ $\subseteq (0, 1)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin B + \sin C = 2 \sin A \cos B$ .

(1)、证明： $a^{2} - b^{2} = b c$ ；

(2)、如图，点 $D$ 在线段 $A B$ 的延长线上，且 $|A B| = 3$ ， $|B D| = 1$ ，当点 $C$ 运动时，探究 $|C D| - |C A|$ 是否为定值？

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13、在测试中，客观题难度的计算公式为 $P_{i} = \frac{R_{i}}{N}$ ，其中 $P_{i}$ 为第 $i$ 题的难度， $R_{i}$ 为答对该题的人数， $N$ 为参加测试的总人数 $.$ 现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题 $.$ 测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号
1
2
3
4
5
考前预估难度 $P_{i}$
$0.9$
$0.8$
$0.7$
$0.6$
$0.4$
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号
1
2
3
4
5
实测答对人数
16
16
14
14
4

(1)、根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；

(2)、从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、试题的预估难度和实测难度之间会有偏差 $.$ 设 $P_{i}^{'}$ 为第 $i$ 题的实测难度，请用 $P_{i}$ 和 $P_{i}^{'}$ 设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

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14、已知三棱锥 $P - A B C$ (如图1)的平面展开图（如图2）中，四边形 $A B C D$ 为边长等于 $\sqrt{2}$ 的正方形， $Δ A B E$ 和 $Δ B C F$ 均为正三角形，在三棱锥 $P - A B C$ 中：
（1）证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；
（2）若点 $M$ 在棱 $P A$ 上运动，当直线 $B M$ 与平面 $P A C$ 所成的角最大时，求二面角 $P - B C - M$ 的正切值．

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15、电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 可以表示成二进制数 ${(a_{0} a_{1} a_{2} \dots a_{k})}_{2}$ ， $n = a_{0} \times 2^{k} + a_{1} \times 2^{k - 1} + a_{2} \times 2^{k - 2} +$ $\dots + a_{k - 1} \times 2^{1} + a_{k} \times 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ， $a_{i} \in {0, 1}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, k, k \in N$ ．用 $f (n)$ 表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则 $f (7) =$ ；对任意 $r \in N^{*}$ ， $\sum_{n = 2^{r}}^{2^{r + 1} - 1} 2^{f (n)} =$ ．

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16、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6}) + 3$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[1, 5]$ B、 $f (x)$ 的对称中心为 $(\frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, 0), k \in Z$ C、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上的递增区间为 $(0, \frac{π}{3})$ D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5}{6} π)$ 上的极值点个数为1

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17、设O为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的两个焦点，点 P在C上， $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ ，则 $| O P | =$ （）

A、 $\frac{13}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\frac{14}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{35}}{2}$

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18、在平面四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点.若 $A B = 2$ ， $C D = 3$ ，且 $\vec{E F} \cdot \vec{A B} = 4$ ，则 $|\vec{E F}| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{42}}{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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19、已知直线 $y = a$ 与函数 $f (x) = e^{x}$ ， $g (x) = \ln x$ 的图象分别相交于 $A$ ， $B$ 两点.设 $k_{1}$ 为曲线 $y = f (x)$ 在点 $A$ 处切线的斜率， $k_{2}$ 为曲线 $y = g (x)$ 在点 $B$ 处切线的斜率，则 $k_{1} k_{2}$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1 C、 $e$ D、 $e^{e}$

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20、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，弦 $A B$ 过定点 $P (1, 1)$ ，则弦长 $|A B|$ 不可能的取值是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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题号	1	2	3	4	5
考前预估难度 $P_{i}$	$0.9$	$0.8$	$0.7$	$0.6$	$0.4$

题号	1	2	3	4	5
实测答对人数	16	16	14	14	4