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相关试卷

1、《数学汇编》第3卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即 $V = s l$ （ $V$ 表示平面图形绕旋转轴旋转的体积， $s$ 表示平面图形的面积， $l$ 表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）．如图，等腰梯形 $A B C D$ ，已知 $A B ∥ D C, A E ⊥ C D, C D = 3 A B, A E = 6$ ，则其重心 $G$ 到 $C D$ 的距离为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，设向量 $\vec{m} = (a, sin A), \vec{n} = (b, sin \frac{B}{2})$ 若 $\vec{m}$ $∥$ $\vec{n}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3、已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（）

A、3150 B、3600 C、5250 D、6000

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4、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $\vec{b} = (- 1, \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{3}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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5、某大学共有教师1000人，其中教授、副教授、讲师、助教的人数比为 $1 : 4 : 3 : 2$ ，现用分层抽样的方法从全校所有教师中抽取一个容量为40的样本，如果样本按比例分配，那么讲师应抽取的人数为（）

A、16 B、12 C、8 D、4

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6、已知复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 b + c - 2 a cos C = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、射线 $A B$ 绕 $A$ 点旋转 $90^{\circ}$ 交线段 $B C$ 于点 $E$ ，且 $A E = 1$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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8、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么 $|\vec{a} + 3 \vec{b}|$ 等于（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、4

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9、已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ 在 $x = 1$ 处取得极值．

(1)、求 $f (e)$ 的值；

(2)、设 $P (x) = \frac{1}{2} m (x^{2} - 2 x) - \frac{x^{3} + 1}{x^{2}} + \frac{1}{x} f (x)$ （其中 $m \in R$ ），讨论函数 $P (x)$ 的单调性；

(3)、若对 $\forall x \in [1, 3]$ ，都有 $f (x) - \frac{1 + n x^{2}}{x} + \frac{6 x - 4}{x + 1} - \ln x \leq 1 - n$ ，求n的取值范围．

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、删去数列 $\{a_{n}\}$ 的第 $3 i$ 项（其中 $i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot$ ），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列 $\{b_{n}\}$ ，设 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，请写出 $\{b_{n}\}$ 的前6项，并求出 $T_{6}$ 和 $T_{2 n}$ ．

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11、（1）若 ${(2 x - \sqrt{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）在 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x^{2}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求 $n$ 的值；
②若第 $k$ 项是有理项，求 $k$ 的取值集合；
③求系数最大的项．

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12、设抛掷一枚骰子的点数为随机变量X，则 $\sqrt{D (X)} =$ ．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且对任意 $n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \cdot n$ ，则 $a_{22} =$ .

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14、已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = \{\begin{matrix} 10.8 - \frac{1}{30} x^{2}, 0 < x \leq 10, \\ \frac{108}{x} - \frac{1000}{3 x^{2}}, x > 10 \end{matrix}$ 当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（）

A、年产量为9000件 B、年产量为10000件 C、年利润最大值为38万元 D、年利润最大值为38.6万元

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15、定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设数列 $\{a_{n}\}$ 是由正数组成的等方差数列，且方公差为2， $a_{13} = 5$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前60项和 $S_{60} = \frac{\sqrt{119} - 1}{2}$ B、数列 $\{\frac{1}{a_{n} + a_{n + 1}}\}$ 的前60项和 $S_{60} = 5$ C、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的通项公式是 $a_{n}^{2} = 2 n - 1$ D、数列 $\{a_{n}^{2}\}$ 的通项公式是 $a_{n}^{2} = 2 n + 1$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ 且 $a_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ ，若 $S_{n} + a_{n} > {(- 1)}^{n} a$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- 1, 2)$ C、 $(- 1, \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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17、 $(x - 3) {(2 x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为（）

A、120 B、 $- 120$ C、180 D、 $- 180$

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18、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么对于函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、在 $(- \infty, - 1)$ 上单调递增 B、在 $(1, + \infty)$ 上单调递减 C、在 $x = 1$ 处取得最大值 D、在 $x = 2$ 处取得极大值

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19、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{3} + a_{7} = 12$ ，则 $S_{7} - S_{2}$ 的值是（）

A、12 B、18 C、24 D、30

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20、甲、乙两人进行知识问答比赛，共有 $n$ 道抢答题，甲、乙抢题的成功率相同.假设每题甲乙答题正确的概率分别为 $p$ 和 $\frac{1}{3}$ ，各题答题相互独立.规则为：初始双方均为0分，答对一题得1分，答错一题得﹣1分，未抢到题得0分，最后累计总分多的人获胜.

(1)、若 $n = 3$ ， $p = \frac{1}{2}$ ，求甲获胜的概率；

(2)、若 $n = 20$ ，设甲第 $i$ 题的得分为随机变量 $X_{i}$ ，一次比赛中得到 $X_{i}$ 的一组观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ ，如下表.现利用统计方法来估计 $p$ 的值：
①设随机变量 $\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ ，若以观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的均值 $\bar{x}$ 作为 $\bar{X}$ 的数学期望，请以此求出 $p$ 的估计值 ${\hat{p}}_{1}$ ；
②设随机变量 $X_{i}$ 取到观测值 $x_{i} (i = 1, 2, \dots, 20)$ 的概率为 $L (p)$ ，即 $L (p)$ $= P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{20} = x_{20})$ ；在一次抽样中获得这一组特殊观测值的概率应该最大，随着 $p$ 的变化，用使得 $L (p)$ 达到最大时 $p$ 的取值 ${\hat{p}}_{2}$ 作为参数 $p$ 的一个估计值.求 ${\hat{p}}_{2}$ .
题目
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6
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1
1
﹣1
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题目
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20
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﹣1
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1
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表1：甲得分的一组观测值.
附：若随机变量 $X$ ， $Y$ 的期望 $E (X)$ ， $E (Y)$ 都存在，则 $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .

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题目	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
得分	1	0	0	﹣1	1	1	﹣1	0	0	0
题目	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
得分	﹣1	0	1	1	﹣1	0	0	0	1	0