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相关试卷

1、斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $0$ 或 $2$ B、 $- 2$ 或 $0$ C、 $－ 1$ 或 $0$ D、 $0$ 或 $1$

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2、已知函数 $f (x) = 4 e^{x} - f^{'} (0) x + 2$ （ $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程为．

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C : y = e^{x} (x < 1)$ 的一条切线 $l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $△ O A B$ 的面积的最大值为．

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4、直线 $x + a y - a = 0$ 是曲线 $y = \frac{s i n x}{x}$ 的切线，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、3π B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5、已知函数 $f (x) = s i n (2 x + ϕ) (0 < ϕ < π)$ 的图象关于 $x = - \frac{π}{12}$ 对称，则（）

A、函数 $f (x - \frac{π}{3})$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 有两个极值点 C、 $(\frac{7 π}{6}, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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6、与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线 $y = x^{4}$ 的法线的纵截距存在，则其最小值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $1$ C、 $\frac{17}{16}$ D、 $\frac{5}{4}$

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7、 $\underset{Δ x \to 0}{l i m} \frac{{(2 + Δ x)}^{3} - 2^{3}}{Δ x} =$ （）

A、72 B、12 C、8 D、4

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8、已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ ，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 和圆 $O$ 分别切于 $P$ 、 $Q$ 两点，则点 $P$ 的纵坐标为.

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} + x^{2} + a x - 4$ 有3个不同的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，且 $x_{1} x_{2} = \frac{x_{3}^{2}}{2}$ ，则（）

A、 $a = - 4$ B、 $f (x) < 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ C、 $y = x - 7$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线 D、点 $(- 1, 0)$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称中心

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10、已知函数 $f (x) = 2^{x} - k x - b$ 恰有一个零点 $x_{0}$ ，且 $b > k > 0$ ，则 $x_{0}$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty, \frac{1 - l n 2}{l n 2})$ B、 $(- \infty, \frac{l n 2}{1 - l n 2})$ C、 $(\frac{1 - l n 2}{l n 2}, + \infty)$ D、 $(\frac{l n 2}{1 - l n 2}, + \infty)$

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11、曲线 $y = l n | x |$ 过坐标原点的两条切线的方程为，．

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12、已知函数 $f (x) = s i n (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图像关于点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 中心对称，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 单调递减 B、 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{12}, \frac{11 π}{12})$ 有两个极值点 C、直线 $x = \frac{7 π}{6}$ 是曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 D、直线 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} - x$ 是曲线 $y = f (x)$ 的切线

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13、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a l n x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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14、函数 $f (x) = {\begin{array}{l} | x + m |, x < 0, \\ - \frac{\sqrt{2} m}{2} \sqrt{x}, x \geq 0 . \end{array}$ 给出下列四个结论：
①当 $m = 0$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减；
②若函数 $f (x)$ 有且仅有两个零点，则 $m > 0$ ；
③当 $m < 0$ 时，若存在实数 $a, b$ ，使得 $f (a) = f (b)$ ，则 $| a - b |$ 的取值范围为 $(2, + ∞)$ ；
④已知点 $P (- m, 0)$ ，函数 $f (x)$ 的图象上存在两点 $Q_{1} (x_{1}, y_{1}), Q_{2} (x_{2}, y_{2}) (x_{1} < x_{2} < 0)$ ， $Q_{1}, Q_{2}$ 关于坐标原点 $O$ 的对称点也在函数 $f (x)$ 的图象上．若 $| P Q_{1} | + | P Q_{2} | = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则 $m = 1$ ．
其中所有正确结论的序号是．

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15、已知 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{e^{x}}{x}, & x > 0, \\ - x^{2} - 4 x - 1, & x \leq 0, \end{array}$ 则方程 $f^{2} (x) - (k + 3) f (x) + 3 k = 0$ 可能有（）个解.

A、3 B、4 C、5 D、6

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16、已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} l n (\frac{1}{2}), x \leq 0 \\ 4 l n^{2} x, x > 0 \end{array}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m x$ 有4个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 ${m | m \geq \frac{16}{e^{2}}}$ B、 ${m | m \geq e l n^{2} 2}$ C、 ${m | e l n^{2} 2 < m < \frac{16}{e^{2}}}$ D、 ${m | m = e l n^{2} 2 或 m = \frac{16}{e^{2}}}$

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17、已知函数 $f (x)$ 为偶函数，满足 $f (x + 2) = - \frac{1}{f (x)}$ ，且 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{x} - 2$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) - 2 l o g_{a} (3 x + 1) = 0$ 有两解，则 $a$ 的值为.

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18、已知函数 $f (x) = x s i n x - c o s x$ 的定义域为 $[- π, π]$ ，则（）．

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[0, π)$ 上单调递增 C、 $f (x)$ 恰有3个极值点 D、 $f (x)$ 有且仅有2个极大值点

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19、函数 $y = x c o s x - s i n x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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20、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并画出函数 $f (x)$ 的图象；

(2)、根据图象写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间和值域；

(3)、讨论方程 $f (x) = a (a \in R)$ 解的个数.

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