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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin x + \ln (x + 1) - a x$ ，且 $y = f (x)$ 与 $x$ 轴相切于坐标原点．

(1)、求实数 $a$ 的值及 $f (x)$ 的最大值；

(2)、证明：当 $x \in [\frac{π}{6}, π]$ 时， $f (x) + 2 x > \frac{1}{2}$ ；

(3)、判断关于 $x$ 的方程 $f (x) + x = 0$ 实数根的个数，并证明．

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P (1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在 $C$ 上，且到 $F_{1}, F_{2}$ 的距离分别为 $m, n$ ，满足 $m - n = \sqrt{3}$ ，过点 $P$ 作两直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 分别交 $C$ 于 $A, B$ 两点，记直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且满足 $k_{1} + k_{2} = 0$ .

(1)、证明： $m n = \frac{13}{4}$ ；

(2)、求 $|A B|$ 的最大值.

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3、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点 $D$ 是 $A C$ 的中点， $E$ 是 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{3}, A A_{1} = 3$ .

(1)、证明： $B_{1} C$ $∥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B D$ 与平面 $E B D$ 夹角的余弦值.

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4、2024年1月5日起，第40届中国·哈尔滨国际冰雪节在黑龙江省哈尔滨市举行.让大家对冰雪文化进一步了解，激发了大家对冰雪运动进一步的热爱.为了调查不同年龄层的人对“冰雪运动”的喜爱态度.某研究小组随机调查了哈尔滨市 $M$ 社区年龄在 $[20, 70)$ 的市民300人，所得结果统计如下频数分布表所示
年龄 $a$ （单位：周岁）
$[20, 30)$
$[30, 40)$
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
频数
30
81
99
60
30
持喜爱态度
24
65
75
30
12

(1)、求该样本中市民年龄的 $75 \frac{0}{0}$ 分位数；

(2)、为鼓励市民积极参加这次调查，该研究小组决定给予参加调查的市民一定的奖励，奖励方案有两种：
方案一：按年龄 $a$ 进行分类奖励，当 $a < 30$ 时，奖励10元：当 $30 \leq a < 50$ 时，奖励30元：当 $a \geq 50$ 时，奖励40元；
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中年龄低于样本中位数的可抽1次奖，年龄不低于样本中位数的可抽2次奖.每次抽中奖励30元，未抽中奖励10元，各次抽奖间相互独立，且每次抽奖中奖的概率均为 $\frac{2}{3}$ .
将频率视为概率，利用样本估计总体的思想，若该研究小组希望最终发出更多的奖金，则从期望角度出发.该研究小组应采取哪种方案.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 1, a_{n + 1} + 2 a_{n} = 3 n - 5, n \in N^{*}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{n} - n + 2$ ，证明： $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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6、三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角 $∠ A O B$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，点 $B$ 在第四象限，且点 $B$ 在双曲线 $T : x^{2} - y^{2} = a (a > 0)$ 的一条渐近线上，而 $O A$ 与 $T$ 在第一象限内交于点 $A$ .以点 $A$ 为圆心， $2 |O A|$ 为半径的圆与 $T$ 在第四象限内交于点 $P$ ，设 $A P$ 的中点为 $Q$ ，则 $∠ Q O B = \frac{1}{3} ∠ A O B$ .若 $|O A| = 5, |O Q| = 6$ ，则 $a$ 的值为.

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7、过点 $P (- 5, 0)$ 且斜率为 $\frac{1}{2}$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - m)}^{2} + y^{2} = m^{2} (m \neq 0)$ 交于 $A, B$ 两点，已知 $|A B| = 2 \sqrt{5}$ ，试写出一个符合上述条件的圆 $C$ 的标准方程.

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8、某班开展数学文化活动，其中有数学家生平介绍环节.现需要从包括2位外国数学家和4位中国数学家的6位人选中选择2位作为讲座主题人物.记事件 $A =$ “这2位讲座主题人物中至少有1位外国数学家”，事件 $B =$ “这2位讲座主题人物中至少有1位中国数学家”.则下列说法正确的是（）

A、事件 $A, B$ 不互斥 B、事件 $A, B$ 相互独立 C、 $P (A ∣ B) = P (B ∣ A)$ D、设 $C = A \cap B$ ，则 $P (C ∣ A) + P (C ∣ B) > 2 P (C)$

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9、已知 $\vec{A B} = (- 1, 1), \vec{A C} = (2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{B C} = (3, 0)$ B、 $\vec{A B} \cdot (2 \vec{B C} - \vec{A C}) = 5$ C、 $cos ⟨\vec{A B}, \vec{A C}⟩ = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、若 $λ \vec{A B} + μ \vec{A C} = (3 μ, λ + 1)$ ，则 $μ - λ = 2$

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10、已知函数 $f (x) = 2 sin (ω x + φ) + 1 (ω > 0, 0 < φ < \frac{π}{2}, x > 0)$ 的零点从小到大分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots$ .若 $x_{2} - x_{1} = π$ ，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、3

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11、如图所示，圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ 是球 $O$ 的两个截面圆，且两个截面互相平行，球心 $O$ 在两个截面之间，记圆 $O_{1}$ ，圆 $O_{2}$ 的半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，若 $r_{2} = 3 r_{1} = 3, O_{1} O_{2} = 4$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $40 π$ B、 $42 π$ C、 $44 π$ D、 $48 π$

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且满足 $f (- x - 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = e^{x} + a$ ，则 $f (\frac{23}{2}) =$ （）

A、 $\sqrt{e} - 1$ B、 $- \sqrt{e} - 1$ C、 $\sqrt{e} + 1$ D、 $- \sqrt{e} + 1$

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13、直线 $y = \frac{1}{4} x - \frac{1}{4}$ 与抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A, B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点为 $M (5, 1)$ ，则抛物线 $C$ 的方程为（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ B、 $y^{2} = 2 x$ C、 $y^{2} = \frac{1}{3} x$ D、 $y^{2} = 3 x$

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14、二项式 ${(x^{2} - \frac{1}{2 x})}^{4}$ 的展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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15、已知平面 $α, β, P \in α, P \notin β, p$ ：在平面 $α$ 内，过点 $P$ 存在唯一一条直线与 $β$ 平行， $q : α$ 与 $β$ 不平行，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、复数 $z$ 满足 $z = (z + 2) i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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17、若数列 $\{a_{n}\}$ 每相邻三项满足 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n - 1}} = \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{a_{n} - a_{n - 1}}$ （ $n \geq 2$ ，且 $n \in N *$ ），则称其为调和数列.

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 为调和数列，证明数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 是等差数列；

(2)、调和数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = \frac{1}{2}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} > \ln (n + 1)$ .

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18、在椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D$ ， $D$ 为垂足，点 $M$ 在线段 $P D$ 上，且满足 $|D P| = \sqrt{2} |D M|$ .

(1)、当点 $P$ 在椭圆 $C$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、若曲线 $E$ 与 $x$ ， $y$ 轴的正半轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，点 $N$ 是 $E$ 上第三象限内一点，线段 $A N$ 与 $y$ 轴交于点 $H$ ，线段 $B N$ 与 $x$ 轴交于点 $G$ ，求四边形 $A B G H$ 的面积.

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19、如图所示，在四棱锥 $P - B C D E$ 中，底面 $B C D E$ 是梯形，且 $B E ∥ C D$ ， $B E ⊥ B C$ ，若 $B E = 2 B C = 2 D C = 8$ ， $P B = P C = 2 \sqrt{5}$ ， $P D = 6$ .

(1)、证明：平面 $P B C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、求二面角 $E - P C - D$ 的平面角的正弦值.

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20、函数 $f (x) = m [x + f^{'} (1) - m] - \ln x$ （ $m$ 为实数）.

(1)、若 $m = 2$ ，判断直线 $y = \frac{3}{2} x - 1 - \ln 2$ 与 $f (x)$ 的图象是否相切，并说明理由；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $m$ 的值.

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年龄 $a$ （单位：周岁）	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$
频数	30	81	99	60	30
持喜爱态度	24	65	75	30	12