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相关试卷

1、英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ 其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n, e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots \dots$ .以上公式称为泰勒公式.设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}, g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设 $F (x) = g (x) - a (1 + \frac{x^{2}}{2})$ ，若 $x = 0$ 是 $F (x)$ 的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A = A D = 2 A B = 2$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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3、设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点， $B$ 为椭圆 $C$ 的上顶点，直线 $B F_{1}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $A$ .若 $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{B F_{2}} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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4、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且 $f^{'} (x) + e^{x}$ 也是偶函数，若 $f (a) > f (2 a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(\frac{1}{3}, 1)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$

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5、将函数 $f (x) = sin x$ 的图像先向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的 $\frac{1}{ω} (ω > 0)$ 倍，得到函数 $g (x)$ 的图像.若函数 $g (x)$ 在 $(- \frac{π}{2}, 0)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{6}]$ B、 $(0, \frac{1}{3}]$ C、 $(0, \frac{1}{2}]$ D、 $(0, 1]$

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6、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， A，B为左右顶点，双曲线 $Γ$ 的右焦点F到其渐近线的距离为1，点P为双曲线上异于A，B一点，且 $k_{A P} \times k_{B P} = \frac{1}{4}$ .

(1)、求双曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、设直线l与 $Γ$ 相切，与其渐近线分别相交于M、N两点，求证： $△ O M N$ 的面积为定值.

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7、某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.

(1)、求小明同学在一轮比赛中所得积分 $X$ 的分布列和期望；

(2)、规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？

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8、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 1$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} S_{n + 1} - a_{n + 1} S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{n^{2} + n + 1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ， $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的最小值.

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A A_{1} = A B$ .

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ A B_{1}$ .

(2)、若 $A A_{1} = A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点E是线段 $B B_{1}$ 上一动点，当直线 $A E$ 与平面 $A_{1} C B_{1}$ 所成角正弦值为 $\frac{1}{5}$ 时，求点E的位置.

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $(b - c) sin (A + B) = (b - a) (sin A + sin B)$ .

(1)、求A的大小：

(2)、设 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，点D在边 $B C$ 上，且 $B D = 2 D C$ ，求 $A D$ 的最小值.

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} + x - a x - \ln a x$ 有正零点 $x_{0}$ ，则正实数 $a$ 的取值范围为．

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12、在平面直角坐标系 $x o y$ 中，一条光线从点 $A (2, 0)$ 时出，经直线 $y = x$ 反射后，与圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，写出一条反射后光线所在直线的方程.

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13、若实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $b + c = 3 a^{2} - 4 a + 6$ ， $b - c = a^{2} - 4 a + 4$ ，试确定 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是.

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列， $a_{5} = 1$ ， $a_{9} = 81$ ，则 $a_{7} =$ .

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15、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记n次传球后球在甲手中的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{3} = \frac{1}{4}$ B、数列 $\{P_{n} - \frac{1}{3}\}$ 为等比数列 C、 $P_{n} = \frac{2}{3} \times {(\frac{1}{2})}^{n} + \frac{1}{3}$ D、第4次传球后球在甲手中的不同传球方式共有6种

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16、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E、F、G、H分别为棱 $C C_{1}$ 、 $C_{1} D_{1}$ 、 $A_{1} D_{1}$ 、 $A B$ 的中点，点M为棱 $A_{1} B_{1}$ 上动点，则（）

A、点E、F、G、H共面 B、 $|G M| + |M H|$ 的最小值为 $1 + \sqrt{5}$ C、点B到平面 $A B_{1} C$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $D E ⊥ A_{1} H$

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17、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{7 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 在 $[- \frac{7 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、把 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到一个奇函数的图象

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18、某同学高三上学期5次月考数学成绩分别为90，100，95，110，105，则（）

A、5次月考成绩的极差为15 B、5次月考成绩的平均数为100 C、5次月考成绩的方差为50 D、5次月考成绩的40%分位数为95

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19、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为该椭圆的左，右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆C在第一象限交于点P，则点P的纵坐标为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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20、西秀山白塔位于安顺城南西秀山上，为仿阁楼式六棱九重实心石塔，白塔始建于元泰定三年（公元1326年），初仅为佛用砖塔.清咸丰元年（1851年），这座元代的砖塔倾斜严重，前安顺知府胡林翼倡捐廉银三十两，时值清中叶，我国华南地区开始以“制器尚象”的设计思维尊崇毛笔形状兴建了大批风水塔，以寓当地文风昌盛.位于西秀山的这座古塔正是在这样的潮流下，被设计成了一个套筒式的毛笔状白塔，咸丰二年普定知县邵鸿儒撰《重修安郡文峰碑》记录了这一大盛事，如图，某学习小组为了测量“西秀山白塔”BC的高度，在地面上A点处测得塔顶B点的仰角为 $α$ ，塔底C点的仰角为 $β$ .已知山岭高CD为h，则塔高BC为（）

A、 $\frac{h sin (α - β)}{cos α sin β}$ B、 $\frac{h sin (α - β)}{sin α sin β}$ C、 $\frac{h sin α sin β}{sin (α - β)}$ D、 $\frac{h cos α sin β}{sin (α - β)}$

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