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相关试卷

1、如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、对 $\forall x \in [1, + \infty ）$ ，不等式 $({(ln a x)}^{2} - 1) (e^{x} - b) \geq 0$ 恒成立，则（）

A、若 $a \in (0, \frac{1}{e})$ ，则 $b \leq e$ B、若 $a \in (0, \frac{1}{e})$ ，则 $b > e$ C、若 $a \in [\frac{1}{e}, e)$ ，则 $a^{b} = e^{e}$ D、若 $a \in [\frac{1}{e}, e)$ ，则 $b^{a} = e^{e}$

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3、已知 $\frac{1}{sin 10^{\circ}} - \frac{λ}{cos 10^{\circ}} = 4$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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4、设 $f (x) = e^{x} + ln x$ ，满足 $f (a) f (b) f (c) < 0 (0 < a < b < c)$ .若函数 $f (x)$ 存在零点 $x_{0}$ ，则（）

A、 $x_{0} < a$ B、 $x_{0} > a$ C、 $x_{0} < c$ D、 $x_{0} > c$

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1), \vec{b} = (2, 1)$ ，若 $(t \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (- 2 \vec{a} + t \vec{b})$ ，则 $t =$ （）

A、1或 $\frac{1}{2}$ B、 $- 2$ 或 $\frac{1}{2}$ C、 $- 1$ 或2 D、 $- 2$ 或1

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6、将函数 $y = sin x$ 的图像向左平移 $φ (0 < φ < 2 π)$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图像，则" $y = g (x)$ 是偶函数"是" $φ = \frac{π}{2}$ "的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、已知直线 $y = 2 x$ 是双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线，则 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $\sqrt{5}$

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8、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, x \geq 0 \\ - x - 1, x < 0 \end{array}$ 是（）

A、奇函数 B、偶函数 C、既非奇函数也非偶函数 D、既是奇函数也是偶函数

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9、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |y = \sqrt{1 - x^{2}}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{- 1, 1\}$ D、 $\{- 1, 0, 1\}$

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10、设双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线 $l$ 与C的右支相交于A，B两点．

(1)、当直线 $l$ 与x轴垂直，且 $A, B$ 两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；

(2)、若双曲线C的焦距为4，且 $0 ° < ∠ A O B < 90 °$ 恒成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．

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11、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比 $q > 1$ ，且 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 117$ ， $a_{3} + 18$ 是 $a_{2}$ ， $a_{4}$ 的等差中项．数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，数列 $\{(b_{n + 1} - b_{n}) \cdot a_{n}\}$ 的前n项和等于 $n^{2}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 $\{b_{n}\}$ 的通项公式．

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12、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形， $A B = B C = 2$ ， E，F分别为AC和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求证： $B F ⊥ D E$ ：

(2)、当 $B_{1} D = 1$ 时，求平面 $B B_{1} C_{1} C$ 与平面 $D E F$ 所成锐二面角的余弦值．

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13、已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + 4$ ．

(1)、若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当 $∠ A O B = 90 °$ 时，求k的值；

(2)、若 $k = \frac{1}{2}$ 时，点P为直线l上的动点，过点P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求四边形 $O C P D$ 的面积的最小值．

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $a \sin B = b \cos A$ ，且边AB上的高等于 $\frac{1}{4} A B$ ．

(1)、求角A的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为18，求边BC的长．

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，数列 $\{b_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2$ ， $a_{2} = b_{2}$ ， $a_{4} = b_{3}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = b_{n} - a_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前10项和．

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16、在三棱锥 $O - A B C$ 中， $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 6$ ， $∠ A O B = ∠ A O C = ∠ B O C = \frac{π}{3}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $\vec{O M} = 2 \vec{M A}$ ， $N$ 为 $B C$ 中点，则 $|\vec{M N}| =$ ．

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17、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，则 $a_{2023} =$ ．

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18、已知 $O$ 为坐标原点，过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 焦点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 在第一象限，点 $M (p, 0)$ ，若 $|A F| = |A M|$ ，则直线 $A B$ 的斜率为.

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19、盒中有四个大小、形状完全相同的小球，分别编号为1、2、3、4，现从中任取两个小球，则取出的小球中至少有一个号码为奇数的概率为．

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20、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E，F满足 $\vec{A_{1} F} = x \vec{A_{1} D_{1}}$ ， $\vec{A E} = y \vec{A D} + z \vec{A B}$ ，且x，y， $z \in (0, 1)$ ．记EF与 $A A_{1}$ 所成角为 $α$ ， $E F$ 与平面ABCD所成角为 $β$ ，则（）

A、若 $z = \frac{1}{3}$ ，三棱锥E-BCF的体积为定值 B、若 $x = y = z = \frac{1}{2}$ ，则 $A E ⊥ B F$ C、 $\forall x, y, z \in (0, 1)$ ， $α + β = \frac{π}{2}$ D、 $\forall x \in (0, 1)$ ，总存在 $y = z$ ，使得 $E F / /$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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