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相关试卷

1、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 为棱 $C C_{1}$ （含端点）上的动点，给出下列四个结论：
①存在 $F$ ，使得 $B F ⊥ D E$ ；
②存在 $F$ ，使得 $B_{1} F / /$ 平面 $A_{1} E D$ ；
③当 $F$ 为线段 $C C_{1}$ 中点时，三棱锥 $A_{1} - E F D$ 的体积最小；
④当 $F$ 与 $C_{1}$ 重合时，直线 $E F$ 与直线 $A_{1} D$ 所成角的余弦值最小.
其中所有正确结论的序号是．

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2、直线 $x - 2 y + 2 = 0$ 和 $2 x + y - 6 = 0$ 与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为．

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3、已知平面 $α$ 过点 $O (0, 0, 0), A (2, 2, 0), B (0, 0, 2)$ 三点，直线 $l$ 与平面 $α$ 垂直，则直线 $l$ 的一个方向向量的坐标可以是．

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4、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + a = 0$ ，则圆心 $C$ 坐标为，当圆 $C$ 与 $y$ 轴相切时，实数 $a$ 的值为.

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5、已知 $A (1, 1)$ ， $B (2, 2)$ ， $C (0, n)$ 三点共线，则 $n =$ ．

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6、如图，放在平面直角坐标系中的“太极图”整体是一个圆形，且黑色阴影区域与白色区域关于原点中心对称，其中黑色阴影区域在 $y$ 轴右侧部分的边界为一个半圆. 已知直线 $l : y = a (x - 2)$ . 给出下列四个结论：
①当 $a = 0$ 时，若直线 $l$ 截黑色阴影区域所得两部分面积记为 $S_{1} ， S_{2} (S_{1} \geq S_{2})$ ，则 $S_{1} : S_{2} = 3 : 1$ ；
②当 $a = - \frac{4}{3}$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域有 $1$ 个公共点；
③当 $a \in [- 1, 1]$ 时，直线 $l$ 与黑色阴影区域的边界曲线有 $2$ 个公共点．
其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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7、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = A A_{1} = 1$ ， $∠ B A D = ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60^{\circ}$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $3$ D、 $6$

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8、若 $\overset{⃑}{d} = (1, 1, - 2)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\overset{⃑}{n} = (- 1, 3, 0)$ 是平面 $α$ 的法向量，则直线 $l$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、直线 $l$ 在平面 $α$ 内 B、平行 C、相交但不垂直 D、垂直

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9、圆 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ 关于 $x$ 轴对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1$ B、 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ D、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$

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10、过点 $M (- 2, a)$ ， $N (a, 4)$ 的直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $| M N | =$ （）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{2}$

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11、已知两个向量 $\vec{a} = (1, - 1, 1), \vec{b} = (2, m, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $4$ D、 $6$

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12、直线 $x + y - 1 = 0$ 的倾斜角的正切值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $0$ D、 $2$

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13、如图所示，正方形 $A B C D$ 所在平面与梯形 $A B M N$ 所在平面垂直， $M B / / A N$ ， $N A = A B = 2$ ， $B M = 4$ ， $C N = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、证明： $M B ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、在线段 $C M$ （不含端点）上是否存在一点E，使得二面角 $E - B N - M$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在求出的 $\frac{C E}{E M}$ 值，若不存在请说明理由．

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14、某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格 $φ (x)$ （单位：元）与时间第 $x$ 天的函数关系近似满足 $φ (x) = 10 + \frac{k}{x}$ ，（ $k > 0$ ），日销售量 $g (x)$ （单位：件）与时间第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
10
15
20
25
30
$g (x)$
50
55
60
55
50
已知第10天的日销售收入为505元．

(1)、求 $k$ 的值；

(2)、给出以下三个函数模型：① $g (x) = a x + b$ ；② $g (x) = \frac{a}{x} - b$ ；③ $g (x) = a |x - m| + b$ ．根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量 $g (x)$ 与时间第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域；

(3)、设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为 $f (x)$ （单位：元），求 $f (x)$ 的最小值．

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15、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 4)$ ，则 $f (2 x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ B、 $f (x) = \frac{x^{2}}{x}$ 和 $g (x) = x$ 表示同一个函数 C、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, \frac{17}{8}]$ D、函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - 2 f (- x) = 2 x - 1$ ，则 $f (x) = \frac{2}{3} x + 1$

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 3 x + 5, x \leq 1 \\ - 2 x^{2} + 8, x > 1 \end{cases}$ ，则 $f [f (2)]$ 的值为（）

A、 $11$ B、 $0$ C、 $5$ D、 $4$

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17、设函数 $f (x) = \frac{e^{2 x} + \sin x}{1 + x^{2}}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美､对称美､和谐美的产物，曲线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{3} = 16 x^{2} y^{2}$ 为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（）

A、方程 ${(x^{2} + y^{2})}^{3} = 16 x^{2} y^{2} (x y < 0)$ ，表示的曲线在第二和第四象限； B、曲线 $C$ 上任一点到坐标原点 $O$ 的距离都不超过 $2$ ； C、曲线 $C$ 构成的四叶玫瑰线面积大于 $4 π$ ； D、曲线 $C$ 上有 $5$ 个整点（横､纵坐标均为整数的点）.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C, E$ 是 $P C$ 的中点，作 $E F ⊥ P B$ 交 $P B$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $P A$ $∥$ 面 $E D B$ ；

(2)、求证： $P B ⊥$ 平面 $E F D$ ；

(3)、求直线PA与平面 $P B D$ 的夹角的正弦值.

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20、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为线段 $D D_{1}$ 的中点， $F$ 为线段 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求点 $A_{1}$ 到直线 $B_{1} E$ 的距离；

(2)、求直线 $F C_{1}$ 到直线 $A E$ 的距离；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} E$ 的距离；

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$x$	10	15	20	25	30
$g (x)$	50	55	60	55	50