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相关试卷

1、德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{matrix}$ ，称为狄利克雷函数，则关于 $f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1]$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、 $\forall x \in R, f (f (x)) = 1$ D、存在 $x 、 y$ 是无理数， $f (x + y) = 1$

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2、对于任意的实数 $a ， b ， c ， d$ ，下列命题错误的有（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = x$ B、 $f (x) = x^{2} - 3 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 3 t$ C、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ D、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = 1$

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4、已知函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ， $f (- 1) = 0$ ，则 $x f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ B、 $(- 1, 0) \cup [1, + \infty)$ C、 $(- 1, 0) \cup (0, 1]$ D、 $(- 1, 0) \cup (0, 1)$

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5、某企业一个月生产某种商品 $x$ 万件时的生产成本为 $C (x) = x^{2} + 4 x + 16$ （万元），每件商品售价为 $28$ 元，假设每月所生产的产品能全部售完．当月所获得的总利润用 $w (x)$ （万元）表示，用 $\frac{w (x)}{x}$ 表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（）

A、当生产 $12$ 万件时，当月能获得最大总利润 $144$ 万元 B、当生产 $12$ 万件时，当月能获得最大总利润 $160$ 万元 C、当生产 $4$ 万件时，当月能获得单件平均利润最大为 $24$ 元 D、当生产 $4$ 万件时，当月能获得单件平均利润最大为 $16$ 元

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6、若 $a > 0, b > 0$ 且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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7、“ $x > 7$ ”是“ $x > 17$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8、下列函数是偶函数的是（）

A、 $y = x + \frac{1}{x}$ B、 $y = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = x^{- \frac{1}{2}}$ D、 $y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$

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9、函数 $f (x) = \sqrt{2 x - 3} + \frac{1}{x - 2}$ 的定义域为（）

A、 ${x | x > \frac{2}{3} 且 x \neq 2}$ B、 ${x | x < \frac{2}{3} 且 x > 2}$ C、 ${x | \frac{3}{2} \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \geq \frac{3}{2} 且 x \neq 2}$

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10、命题 $p : \forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ ，则命题 $p$ 的否定形式是（）

A、 $\forall x > 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ B、 $\forall x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 > 0$ C、 $\exists x > 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$ D、 $\exists x \leq 2$ ， $x^{2} - 1 \leq 0$

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11、若集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 2},$ $B = Z$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 \leq x < 2}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0\}$ D、 $\{- 1\}$

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12、求满足下列条件的直线 $l$ 的方程：

(1)、直线 $l$ 过点 $(- 2, 1)$ ，且与直线 $x + y - 3 = 0$ 平行；

(2)、直线 $l$ 过点 $(- 1, 2)$ ，且与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 垂直.

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13、两条平行直线 $l_{1} : 3 x + 4 y - 5 = 0$ 与 $l_{2} : 6 x + 8 y - 5 = 0$ 之间的距离是．

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14、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（）

A、CC₁⊥BD B、 $\vec{A A_{1}} \cdot \vec{B D_{1}} = 36$ C、 $\vec{B_{1} C} 与 \vec{A A_{1}}$ 夹角是60° D、直线 $A C$ 与直线 $A_{1} C_{1}$ 的距离是 $2 \sqrt{6}$

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15、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、150° B、120° C、60° D、30°

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16、设向量 $\vec{a} = (1, m, 2)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, 0)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $2$

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17、若存在有限个 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ ，且 $f (x)$ 不是偶函数，则称 $f (x)$ 为“缺陷偶函数”，且 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的偶点.

(1)、求函数 $p (x) = x + 1 - \frac{1}{x}$ 的偶点.

(2)、若 $h (x), H (x)$ 均为定义在 $R$ 上的“缺陷偶函数”，试举例说明 $y = h (x) + H (x)$ 可能是“缺陷偶函数”，也可能不是“缺陷偶函数”.

(3)、对任意 $x, y \in R$ ，函数 $f (x), g (x)$ 都满足 $f (x) + f (y) + g (x) - 2 g (y) = x^{2} + y$ .
①比较 $g (0)$ 与 $g (1)$ 的大小；
②若 $y = \frac{g (x)}{x}$ 是“缺陷偶函数”，求 $g (1)$ 的取值范围.

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18、已知 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m n = 3$ .

(1)、求 $\frac{3}{m} + \frac{4}{n}$ 的取值范围；

(2)、证明： $\frac{3}{m + 3} + \frac{1}{n + 1} = 1$ ；

(3)、求 $3 m + n + \frac{1}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上的单调性并用单调性的定义证明你的结论；

(2)、求不等式 $f (t^{2} + 2) \geq f (|t| + 4)$ 的解集.

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20、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (2 x - 1) = x^{2} - 2 x + 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 1, 2]$ 上的值域.

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