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相关试卷

1、2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产 $x (x \in N^{*})$ 百件，需另投入成本 $W (x)$ 万元，且 $0 < x < 45$ 时， $W (x) = 3 x^{2} + 260 x$ ；当 $x \geq 45$ 时， $W (x) = 501 x + \frac{4900}{x + 20} - 4950$ ，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.

(1)、分别写出 $0 \leq x < 45$ 与 $x \geq 45$ 时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）；

(2)、当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？

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2、已知函数 $f (x) = \frac{a x - b}{1 + x^{2}}$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解不等式 $f (2 t) + f (t - 1) > 0$ .

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3、已知不等式 $a x^{2} - 3 x + 2 > 0$ 的解集为 ${x | x < 1$ 或 $x > b}$

(1)、求 $a, b$ 的值

(2)、解不等式 $a x^{2} - (a m + b) x + b m < 0$ ．

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4、设全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 3 \leq x < 6}, B = {x ∣ 2 < x < 9}$ ．

(1)、分别求 $A \cap B, (∁_{R} A) \cup B$

(2)、已知 $C = {x ∣ a < x < a + 1}$ ，若 $C \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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5、已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 1, 1)$ 上的减函数，若对于任意的 $x, y \in (- 1, 1)$ ，均有 $f (x) + f (y) = f (x y)$ 成立，且 $f (\frac{1}{2}) = 1$ ，则不等式 $\frac{f (x) + f (\frac{5}{16} x - \frac{1}{2})}{2} \leq 1$ 的解集为.

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6、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2, x \leq 1 \\ 2 x + 3, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (- 2))$ 的值是．

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7、已知 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，例如： $[2.1] = 2$ ， $[- 3.5] = - 4$ ， $[0] = 0$ ， $A = \{y | y = [x], - 1.1 < x \leq 3.2\}$ ， $B = {y | - 10 \leq y \leq m}$ ，下列说法正确的是（）

A、集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、集合A的非空真子集的个数是62个 C、若“ $y \in A$ ”是“ $y \in B$ ”的充分不必要条件，则 $m \geq 3$ D、若 $A \cap B = \emptyset$ ，则 $m < - 2$

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8、已知四组函数，其中是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = {(\sqrt{x})}^{2}, g (x) = x$ B、 $f (x) = x$ ， $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ， $g (t) = t^{2} - 2 t$ D、 $f (n) = 2 n - 1 (n \in N^{*})$ ， $g (n) = 2 n + 1 (n \in N)$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - a x + 5, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 满足对任意实数 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{2}) - f (x_{1})] < 0$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, 3]$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $[2, 3]$

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10、向50名学生调查对 $A ､ B$ 两事件的态度，有如下结果：赞成 $A$ 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成 $B$ 的比赞成 $A$ 的多3人，其余的不赞成；另外，对 $A, B$ 都不赞成的学生数比对 $A, B$ 都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是（）

A、赞成 $A$ 的不赞成 $B$ 的有9人 B、赞成 $B$ 的不赞成 $A$ 的有11人 C、对 $A, B$ 都赞成的有21人 D、对 $A, B$ 都不赞成的有8人

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11、函数 $f (x) = \sqrt{- x^{2} - 2 x}$ 的单调递减区间是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $[0, 1]$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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12、已知实数 $a, b, c$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > b^{2} > a b$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$

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13、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, + \infty)$ ，则函数 $y = \frac{f (x - 2)}{x - 5}$ 的定义域为（）

A、 $(- 2, 5) \cup (5, + \infty)$ B、 $[- 2, 5) \cup (5, + \infty)$ C、 $(2, 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $[2, 5) \cup (5, + \infty)$

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14、设 $a b > 0$ ，则“ $a < b$ ”是“ $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件

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15、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 4 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 4 \geq 0$ B、 $\exists x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 4 < 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 4 > 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 4 x + 4 < 0$

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16、已知全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $A = \{2, 4\}$ ， $B = \{1, 4, 5\}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{4\}$ C、 $\{1, 4\}$ D、 $\{1, 5\}$

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17、若存在有限个 $x_{0}$ ，使得 $f (- x_{0}) = f (x_{0})$ ，且 $f (x)$ 不是偶函数，则称 $f (x)$ 为“缺陷偶函数”， $x_{0}$ 称为 $f (x)$ 的偶点.

(1)、证明： $h (x) = x + x^{5}$ 为“缺陷偶函数”，且偶点唯一.

(2)、对任意x， $y \in R$ ，函数 $f (x)$ ， $g (x)$ 都满足 $f (x) + f (y) + g (x) - 2 g (y) = x^{2} + y$ .
①若 $y = \frac{g (x)}{x}$ 是“缺陷偶函数”，证明：函数 $F (x) = x g (x)$ 有2个极值点.
②若 $g (3) = 2$ ，证明：当 $x > 1$ 时， $g (x) > \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1)$ .
参考数据： $\ln \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.481$ ， $\sqrt{5} \approx 2.236$ .

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18、已知 $O$ 为坐标原点，动点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $d$ ，且 ${|O P|}^{2} = λ + μ d^{2}$ ，其中 $λ$ ， $μ$ 均为常数，动点 $P$ 的轨迹称为 $(λ, μ)$ 曲线.

(1)、判断 $(7, 2)$ 曲线为何种圆锥曲线.

(2)、若 $(\frac{1}{2}, μ)$ 曲线为焦点在 $y$ 轴上的椭圆，求 $μ$ 的取值范围.

(3)、设曲线 $Ω$ 为 $(9, - \frac{1}{8})$ 曲线，斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线 $l$ 过 $Ω$ 的右焦点，且与 $Ω$ 交于 $A$ ， $B$ 两个不同的点.若点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $D$ ，证明：直线 $A D$ 过定点.

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19、如图，在体积为 $2 \sqrt{3}$ 的三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = A A_{1} = A C = 2$ ， $∠ A B B_{1} = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $A B_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ .

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} A C C_{1}$ 夹角的余弦值

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20、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 8$ ， $S_{n + 1} - 4 S_{n} = 8$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和．

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