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相关试卷

1、幂函数 $f (x) = (a^{2} + a - 5) x^{a}$ 的定义域是全体实数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若不等式 $f (x) > (k + 1) x - 4$ 在区间 $[0, 4]$ 上恒成立，求实数k的取值范围.

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2、已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + k x - 2 = 0$ 的一个根是1，则它的另一个根是（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 2$ D、2

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点，直线 $l : x - y + 2 = 0$ 交双曲线 $C$ 于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 的面积．

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4、如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ .

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\vec{B D_{1}} \cdot \vec{A C}$ .

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， M为椭圆上一点， $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{π}{3}$ ， $O M = \frac{\sqrt{15}}{3} b$ ，则椭圆的离心率为．

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6、若直线 $l_{1} : 2 x - y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y + 1 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为．

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7、已知 $A (2, 3, 1)$ ， $B (4, 1, 2)$ ，若点 $B$ 关于平面 $y O z$ 的对称点为 $C$ ，则 $A$ ， $C$ 两点间的距离为.

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8、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $5 |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}|$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{3}{10}, - \frac{2}{5}, - \frac{1}{2})$

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9、已知 $A 、 B$ 是圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 3$ 上的动点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ． $P$ 是圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 的动点，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的取值范围是（）

A、 $[8, 12]$ B、 $[6, 10]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[6, 14]$

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10、已知点 $P$ 在抛物线 $M : y^{2} = 8 x$ 上，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，若切线长为 $2 \sqrt{6}$ ，则点 $P$ 到 $M$ 的准线的距离为（）

A、5 B、6 C、7 D、 $4 \sqrt{2}$

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11、直线 $a x + b y - 1 = 0 (a > 0, b > 0)$ 等分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的周长，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、4 C、6 D、18

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12、若 $(z - 1) (i + 1) = 2$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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13、过点 $P (1, 1)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $2$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 2 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x - y + 2 = 0$

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14、多元导数在微积分学中有重要的应用.设 $y$ 是由 $a$ ， $b$ ， $c$ …等多个自变量唯一确定的因变量，则当 $a$ 变化为 $a + Δ a$ 时， $y$ 变化为 $y + Δ y$ ，记 $\lim_{Δ a \to 0} \frac{Δ y}{Δ a}$ 为 $y$ 对 $a$ 的导数，其符号为 $\frac{d y}{d a}$ .和一般导数一样，若在 $(a_{1}, a_{2})$ 上，已知 $\frac{d y}{d a} > 0$ ，则 $y$ 随着 $a$ 的增大而增大；反之，已知 $\frac{d y}{d a} < 0$ ，则 $y$ 随着 $a$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： $\frac{d (y_{1} + y_{2})}{d a} = \frac{d y_{1}}{d a} + \frac{d y_{2}}{d a}$ ；②乘法法则： $\frac{d (y_{1} y_{2})}{d a} = y_{2} \frac{d y_{1}}{d a} + y_{1} \frac{d y_{2}}{d a}$ ；③除法法则： $\frac{d (\frac{y_{1}}{y_{2}})}{d a} = \frac{(y_{2} \frac{d y_{1}}{d a} - y_{1} \frac{d y_{2}}{d a})}{y_{2}^{2}}$ ；④复合法则： $\frac{d y_{2}}{d a} = \frac{d y_{2}}{d y_{1}} \cdot \frac{d y_{1}}{d a}$ .记 $y = e^{x} + \frac{1}{e} x^{2} \ln x - \frac{1}{2 e} x^{2} - e x - a$ .（ $e = 2.7182818 \dots$ 为自然对数的底数），

(1)、写出 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{d y}{d a}$ 的表达式；

(2)、已知方程 $y = 0$ 有两实根 $x_{1}, x_{2}$ ， $x_{1} < x_{2}$ .
①求出 $a$ 的取值范围；
②证明 $\frac{d (x_{1} + x_{2})}{d a} > 0$ ，并写出 $x_{1} + x_{2}$ 随 $a$ 的变化趋势.

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15、已知椭圆 $C$ 的标准方程 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．

(1)、过点 $H (- 2, 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $A F_{1} ⊥ B F_{1}$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1}, l_{2}$ 过右焦点 $F_{2}$ ，且它们的斜率乘积为 $- \frac{1}{2}$ ，设 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $C, D$ 和 $E, F$ ．若 $M, N$ 分别是线段 $C D$ 和 $E F$ 的中点，证直线 $M N$ 过定点，并求 $△ O M N$ 面积的最大值．

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16、一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

(2)、在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？

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17、已知函数 $f (x) = x e^{x} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $t > 0$ ，若 $f (e^{s}) \geq f (s^{\frac{1}{t}})$ 对于 $s \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $t$ 的最小值．

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18、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, - \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{3}{2}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若 $f (C)$ 恰好为函数 $f (x)$ 的最大值，且此时 $C D = f (C)$ ，求3a＋4b的最小值．

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19、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 是 $A C$ 边上的一点，且满足 $C D = 2 A D$ ，若 $c = 3, B D = \sqrt{19}$ ， $\frac{b}{2 c - a} = \frac{\cos B}{\cos A}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求三角形 $A B C$ 的面积．

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20、设函数 $f (x) = (x + a) ln (x + b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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