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相关试卷

1、现定义：对于一个函数，如果自变量 $x$ 与函数值 $y$ ，满足：若 $m \leq x \leq n$ ，则 $m \leq y \leq n$ （ $m$ ， $n$ 为实数），我们称这个函数在 $m \to n$ 上是同步函数.比如：函数 $y = - x + 1$ 在 $- 1 \to 2$ 上是同步函数.理由： $∵ - 1 \leq x \leq 2$ ， $x = 1 - y$ ， $∴ - 1 \leq 1 - y \leq 2$ ，得 $- 1 \leq y \leq 2$ ， $∴ y = - x + 1$ 在 $- 1 \to 2$ 上是同步函数.

(1)、若函数 $y = - x + b$ 在 $2 \to 4$ 上是同步函数，求 $b$ 的值；

(2)、已知反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 在 $m \to n$ 上是同步函数，求 $m n$ 的值；

(3)、若抛物线 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a > 0, a + b > 0)$ 在 $1 \to 3$ 上是同步函数，且在 $1 \leq x \leq 3$ 上的最小值为 $4 a$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的最小值.

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2、高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，如 $[3.2] = 3$ ， $[- 1.6] = - 2$ .若 $f (x) = x - [x]$ ， $g (x) = \frac{[x + 1]}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[0, 1)$ B、 $f (x + 1) - f (x) = 1$ C、当 $2024 \leq x < 2025$ 时， $g (x) = \frac{2025}{x}$ D、函数 $g (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 上单调递减

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3、已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ ，则正确的是（）

A、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, + \infty)$ B、 $f (x + 1) > 1$ 的解集为 $(- 2, + \infty)$ C、 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = 2^{x} - 1$ 的图象关于 $y$ 轴对称 D、若关于 $x$ 的方程 $|f (x)| = a$ 有且仅有一实根，则 $a > 1$

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4、今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人要用它称物体的质量，他将物体放在左右托盘各称一次，记两次称量结果分别为 $a, b$ ，设物体的真实质量为G，则（）

A、 $\frac{a + b}{2} = G$ B、 $\frac{a + b}{2} < G$ C、 $\frac{a + b}{2} > G$ D、 $\sqrt{a b} < G$

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求关于x的不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、求关于x的不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(3)、若 $f (x) + 2 x \geq 0$ 在区间 $(1, + \infty)$ 上恒成立，求实数a的范围.

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6、函数 $f (x)$ 是 $[0, + \infty)$ 上是减函数，那么下述式子中正确的是（）

A、 $f (1) \geq f (a^{2} + 2 a + 2)$ B、 $f (1) \leq f (a^{2} + 2 a + 2)$ C、 $f (1) = f (a^{2} + 2 a + 2)$ D、以上关系均不确定

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7、若 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1 (a > 0)$ 在 $[m, n]$ 上的值域是 $[m, n]$ 的子集，则称函数 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上是封闭的.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上是封闭的，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $[0, t]$ 上是封闭的，求实数 $t$ 的最大值.

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8、函数 $f (x) = ({log}_{2} x - 4) ({log}_{4} x - \frac{1}{2})$ .

(1)、当 $x \in [1, 4]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f (x) > m {log}_{2} x$ 对于 $x \in [1, 4]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{1 + a \cdot 2^{x}}$ ，若 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数.

(1)、求出函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性，并用定义加以证明.

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10、求下列式子的值：

(1)、 $\sqrt{\frac{25}{9}} - {(\frac{8}{27})}^{\frac{1}{3}} - {(π + e)}^{0} + {(\frac{1}{4})}^{- \frac{1}{2}}$ ；

(2)、 $\lg 25 + 2 \lg 2 - \log_{3} 16 \cdot \log_{4} 3 + e^{\ln 3}$ ．

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11、设集合 $A = \{x ∣ - 3 \leq x \leq 4\}, B = \{x ∣ m - 1 \leq x \leq 3 m - 2\}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x |x - a|, x \leq 1 \\ 2^{x - 1}, x > 1 \end{cases}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的值为.

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13、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + 2 > 0$ 的解集为 $(- \frac{1}{3}, 2)$ ，那么关于 $x$ 的不等式 $2 x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为.

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14、函数 $f (x) = 2 \log_{a} (x - 1) + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象恒过定点P，则点P的坐标为

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15、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $4 a b \geq 1$ B、 $2 a^{2} + b \geq \frac{7}{8}$ C、 $\frac{4}{a + 1} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{2}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$

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16、某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储存温度 $x$ （单位： $^{\circ} C$ ）满足函数关系 $y = e^{k x + b} (e = 2.718 \dots, k ､ b$ 为常数 $)$ .若该食品在 $0^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $120$ 小时，在 $20^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $30$ 小时，则（）

A、 $k > 0$ B、储存温度越高保鲜时间越短 C、在 $10^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $60$ 小时 D、在 $30^{\circ} C$ 的保鲜时间是 $15$ 小时

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17、下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x$ 和 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ B、 $f (x) = x$ 和 $g (x) = \sqrt[3]{x^{3}}$ C、 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{4}$ D、 $f (x) = 3 x + 2$ 和 $g (t) = 3 t + 2$

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18、设函数 $y = f (x + 1)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的偶函数， $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, 1)$ 上是减函数，且图象过原点，则不等式 $x f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 1) \cup (2, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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19、若 $a = 3^{\frac{1}{2}}, b = {0.4}^{2}, c = 2 {log}_{3} 2$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $b < c < a$

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20、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且当 $x \in (- \infty, 0)$ 时， $f (x) = x^{2} + \frac{1}{x} - 1$ ，则当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - \frac{1}{x} + 1$ B、 $- x^{2} + \frac{1}{x} + 1$ C、 $- x^{2} + \frac{1}{x} - 1$ D、 $x^{2} - \frac{1}{x} - 1$

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