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相关试卷

1、我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

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2、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} b c \sin A + c^{2} = a^{2}$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 和 $\sin (2 B)$ 的值．

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3、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是梭 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的动点，且 $P C_{1} //$ 平面 $A E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长为，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为.

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4、已知平面上直线 $l$ 的方向向量 $\vec{e} = (- \frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ ，点 $O (0, 0)$ 和 $A (1, - 2)$ 在 $l$ 上的射影分别为 $O_{1}$ 和 $A_{1}$ ，则 $\overset{⃑}{O_{1} A_{1}} = λ \vec{e}$ ，其中 $λ =$ .

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5、两圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ ， $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0$ 的公切线有且仅有条．

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6、已知O为坐标原点，过点 $P (- 5, 0)$ 的直线l与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 交于A，B两点，M为A，B的中点，下列选项正确的有（）

A、直线l的斜率k的取值范围是 $(- \frac{3}{4}, \frac{3}{4})$ B、点M的轨迹为圆的一部分 C、 $\vec{P O} \cdot \vec{P M}$ 为定值 D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值

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7、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $a > b$ B、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则△ABC为等腰三角形 C、若 $B = 30 °$ ， $b = \sqrt{2}$ ， $c = 2$ ，则符合条件的三角形有2个 D、若△ABC的面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (b^{2} + c^{2} - a^{2})$ ，则 $A = \frac{π}{3}$

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8、在区间 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 内，曲线 $f (x) = tanπ x$ 和 $y = 4 x$ 交点间的线段长的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{4}$ C、 $\sqrt{17}$ D、4

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9、在 $△ A B C$ 中，已知三个内角为 $A, B, C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = 4 : 5 : 6$ ，则三角形的形状（）

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定

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10、四面体 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}, \vec{O M} = \vec{M A}, \vec{B N} = \vec{N C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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11、向量 $\overset{⃑}{a} = (1, - 2)$ 与 $\overset{⃑}{b} = (2, m)$ 垂直，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、－4 D、4

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12、某校学生2000人，其中高三年级学生500人，为了解学生的身体素质情况，现采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取200人的样本，则该样本中高三学生的人数为（）

A、60 B、50 C、40 D、30

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13、已知函数 $f (x) = - \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ 的定义域为 $A$ ， $g (x) = ln (1 + x)$ 的定义域为 $B$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |x > - 1\}$ B、 $\{x |x < 1\}$ C、 $\{x |- 1 < x < 1\}$ D、 $\emptyset$

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14、近几年 $3 D$ 打印手办深受青少年的喜爱，某工厂计划在2024年利用新技术生产手办，通过调查分析：生产手办全年需投入固定成本12万元，生产 $x$ （千件）手办，需另投入成本 $C (x)$ （万元），且 $C (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + x, 0 < x < 6 \\ 10 x + \frac{100}{x} - 40, x \geq 6 \end{array}$ 由市场调研知每件手办售价90元，且每年内生产的手办当年能全部销售完.

(1)、求出2024年的利润 $L (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千件）的表达式；

(2)、2024年年产量为多少（千件）时，该工厂所获利润最大？最大利润是多少？

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15、若集合 $A = \{- 1, 0, 1\}, B = \{- 2, 0, 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 2, 0, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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16、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，集合 $M \subseteq D$ ，若存在非零实数 $t$ ，使得对于任意 $x \in M$ 都有 $x + t \in D$ ，且 $f (x + t) > f (x)$ ，则称 $f (x)$ 为 $M$ 上的 $t -$ 增长函数.

(1)、已知函数 $g (x) = x$ ， $h (x) = x^{2}$ ，判断 $g (x)$ 和 $h (x)$ 是否为区间 $[- 1, 0]$ 上的 $\frac{3}{2} -$ 增长函数，并说明理由；

(2)、已知函数 $f (x) = | x |$ ，且 $f (x)$ 是区间 $[- 4, - 2]$ 上的 $n -$ 增长函数，求正整数 $n$ 的最小值；

(3)、如果 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = | x - a^{2} | - a^{2}$ ，且 $f (x)$ 为 $R$ 上的 $4 -$ 增长函数，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知二次函数 $f (x)$ 的最小值为1，且 $f (0) = f (2) = 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $[2 a, a + 1]$ 上不单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $x \in [- \frac{1}{2}, 2]$ 时， $f (x) > 4 m x + 1$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4} (- 2 < x < 2)$ .

(1)、证明： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、用定义证明： $f (x)$ 在区间 $(- 2, 2)$ 上是减函数；

(3)、解不等式 $f (2 t - 1) + f (t) < 0$ .

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19、已知全集 $U = R$ ， $A = {x |x \geq 2}$ ， $B = {x |x^{2} - 8 x + 7 \leq 0}$ ， $C = {x |a - 1 \leq x \leq 2 a + 1}$ .

(1)、求 $A \cap B$ ， $A \cup ∁_{U} B$ ；

(2)、若 $B \cap C = C$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、函数 $f (x) = \frac{x}{1 + | x |} (x \in R)$ ，给出下列四个结论
① $f (x)$ 的值域是 $(- 1, 1)$ ；
②任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ；
③任意 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ；
④规定 $f_{1} (x) = f (x), f_{n + 1} (x) = f (f_{n} (x))$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，则 $f_{10} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{12}$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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