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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x + 1} + a}{3^{x} - 1}$ 是奇函数．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若方程 $f (9^{x} + 4) + f (t \times 3^{x + 2}) = 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恰有两个不相等的实数根，求 $t$ 的取值范围．

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2、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 4 x - 12 < 0\}$ ，集合 $B = \{x |m - 3 < x < m^{2} - 9\}$ ．

(1)、若 $m = 5$ ，求 $B \cap (∁_{R} A)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求 $m$ 的取值范围．

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3、已知奇函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，则不等式 $(x + 1) f (x) > 0$ 的解集是．

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4、写出命题“ $\exists a \in R, a + 1 \leq 0$ ”的否定．

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5、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} (m - 2) x + 4 m + 1, x \leq 2 \\ 2 m^{x - 1}, x > 2 \end{array}$ ，若该函数存在最小值，则 $m$ 的可能取值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、3

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6、若 $2^{x} = 3, y = \log_{3} 8$ ，则下列等式正确的是（）

A、 $x = \frac{\lg 3}{\lg 2}$ B、 $y^{2} = 8$ C、 $x + y = 3$ D、 $x y = 3$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} + 1, x > 0 \\ g (x) + 1, x < 0 \end{array}$ 为奇函数，则 $g (- 1) =$ （）

A、 $- e$ B、 $- e^{- 1}$ C、 $- e - 2$ D、 $- e + 2$

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8、已知函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 恒过定点 $A (t, s)$ ，则函数 $g (x) = t + x^{s + 1}$ 的图象不经过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、“ $x > 2024$ ”是“ $\frac{1}{x} < \frac{1}{2024}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知集合 $A = \{0, 5, 6\}, B = \{4, 5, 7, 18\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{5, 7, 18\}$ C、 $\{0, 4, 5, 18\}$ D、 $\{0, 4, 5, 6, 7, 18\}$

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11、已知函数 $f (x) = e^{x} (\ln x - a)$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{2}, 1)$ 内存在极值，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对任意的实数 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) \geq - 1$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $2 a_{n + 1} - 2 a_{n} = a_{1}$ ，且 $a_{2} = 3$ ，其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{\frac{1}{S_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{11}{9}$ ．

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，且 $A D = C D = P D = 2 A B = 2$ ．

(1)、求证： $A B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值；

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14、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 是椭圆上一点， $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为.

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15、已知函数 $f (x) = 3 x^{3} + a x - \frac{1}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 6$ D、 $6$

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16、某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为 $2 π$ ，则该圆锥体积为（）

A、 $\frac{3 π}{8}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{3} π}{8}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{24}$

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17、已知点 $G$ 是圆 $T$ ： ${(x + \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 24$ 上一动点（ $T$ 为圆心），点 $H$ 的坐标为 $(\sqrt{2}, 0)$ ，线段 $G H$ 的垂直平分线交线段 $T G$ 于点 $R$ ，动点 $R$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $A$ 点坐标为 $(0, 2)$ ，过点 $D (0, - 1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $l_{1}$ 为过点 $D$ 且与 $A M$ 平行的直线，设 $l_{1}$ 与直线 $y = - \frac{5}{2}$ 的交点为 $Q$ ．证明：直线 $Q N$ 过定点．

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18、如图，已知正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上，下底面分别是边长为2和4的正方形， $A_{1} A = \sqrt{5}$ ，点P是棱 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（包括端点）．

(1)、证明：平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B_{1} C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求点P到平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离．

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19、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $p$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．“星队”在两轮活动中猜对所有成语的概率为 $\frac{9}{25}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求“星队”在两轮活动中，猜对3个成语的概率；

(3)、若某人在两轮活动中至少猜对1个成语，则该人可获得“优秀队员”称号，求“星队”的甲、乙两人中恰有一人获得此称号的概率．

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20、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 为 $C$ 上一点， $△ P F_{1} F_{2}$ 周长为 $2 \sqrt{2} + 2$ ，其中 $O$ 为坐标原点．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l : y = x + m$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $△ O A B$ 面积的最大值．

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