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相关试卷

1、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为3， $A B = 2$ ，空间中一点 $P$ 满足 $\vec{A P} = x \vec{A B} + y \vec{A A_{1}} (x, y \in [0, 1])$ ，则（）

A、若 $x = \frac{1}{2}$ ，则三棱锥 $P - A A_{1} C$ 的体积为定值 B、若 $y = \frac{1}{2}$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为3 C、若 $x + y = 1$ ，则 $P B_{1}$ 的最小值为 $\frac{6 \sqrt{13}}{13}$ D、若 $x = y$ ，则点 $P$ 到 $B C$ 的距离的最小值为 $\frac{3}{2}$

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2、设全集为R ，集合 $A = \{x |3 \leq x < 6\}$ ， $B = \{x |2 < x < 9\}$ ．

(1)、分别求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} B) \cup A$ ；

(2)、已知 $C = \{x |a < x < a + 1\}$ ，若 $C \cup B = B$ ，求实数a的取值范围．

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3、已知 $x + y = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + 8 (x, y > 0)$ ，则 $x + y$ 的最小值为（）

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $9$ C、 $4 + \sqrt{26}$ D、 $10$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，右焦点 $F$ 到渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $M, N$ 两点， $A (- 1, 0)$ ．求 $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 的值．

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5、北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互换的“pin”（即奥运徽章）是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介．人们经常能在奥运村、比赛场馆等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚至奥组委人员．中国队的熊猫pin更是受到了各国友人的喜爱，造成了一pin难求的局面．通过市场分析，对熊猫pin而言，某企业每生产x（万件）获利w（x）（万元），且满足 $w (x) = \{\begin{matrix} 20 (x^{2} + 17), 0 < x \leq 2 \\ 500 - \frac{80}{x - 1}, 2 < x \leq 5 \end{matrix}$ .2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为 $(20 x + 10)$ 万元．由市场调研分析得知，当前熊猫pin供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为 $f (x)$ （单位：万元）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、当2024年8月优化后的产品产是为多少万件时，该企业8月的利润 $f (x)$ 最大？最大利润是多少？请说明理由．

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6、如图，在空间直角坐标系中有长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $A A^{'} = 2$ .

(1)、求 $C^{'}$ 点到平面 $A^{'} B D$ 的距离；

(2)、求平面 $A C^{'} D$ 与平面 $A B D$ 的余弦值.

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7、已知 $\vec{A B} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{A C} = (- \frac{1}{2}, 0, 1)$ ，则点 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $3$

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8、已知平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (1, - 2, 2)$ ，点 $M$ 在 $α$ 外，点 $N$ 在 $α$ 内，且 $\vec{M N} = (- 1, 2, 1)$ ，则点 $M$ 到平面 $α$ 的距离 $d =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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9、图1是直角梯形ABCD， $A B // D C$ ， $∠ D = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $D C = 3$ ， $A D = \sqrt{3}$ ， $\overset{⃑}{C E} = 2 \overset{⃑}{E D}$ ，以BE为折痕将BCE折起，使点C到达 $C_{1}$ 的位置，且 $A C_{1} = \sqrt{6}$ ，如图2．
（1）求证：平面 $B C_{1} E ⊥$ 平面ABED；
（2）求直线 $B C_{1}$ 与平面 $A C_{1} D$ 所成角的正弦值．
（3）在棱 $D C_{1}$ 上是否存在点P，使得二面角 $P - E B - C_{1}$ 的平面角为 $45 °$ ？若存在，求出线段 $C_{1} P$ 的长度，若不存在说明理由．

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10、在平面直角坐标系中，曲线 $y = x^{2} - 6 x + 1$ 与坐标轴的交点都在圆C上.
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线 $x - y + a = 0$ 交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求a的值.

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11、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 在棱 $A A_{1}$ 上，且 $A E = 1$ .

(1)、求平面 $A D D_{1} A_{1}$ 与平面 $B_{1} D E$ 夹角的余弦值；

(2)、若点 $P$ 在棱 $D_{1} C_{1}$ 上，且 $P$ 到平面 $B_{1} D E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{26}}{2}$ ，求 $P$ 到直线 $E B_{1}$ 的距离.

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12、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ ， O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.

(1)、若点P运动到 $(1, 3)$ 处，求此时切线l的方程；

(2)、求满足条件 $|P M| = |P O|$ 的点P的轨迹方程．

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13、已知直线 $l$ 过点 $A (2, 3)$ ，且分别与 $x$ 轴的正半轴交于 $M$ 点、 $y$ 轴的正半轴交于 $N$ 点.

(1)、若 $A$ 为 $M N$ 的中点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求 $|O M| + 2 |O N|$ 的最小值.

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14、设 $m \in R$ ，过定点A的动直线 $x + m y + 1 = 0$ 和过定点B的动直线 $m x - y - 2 m + 3 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则 $| P A | \cdot | P B |$ 的最大值．

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15、已知圆 $C_{1}$ ： ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 1$ ，圆 $C_{2}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 1$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是圆 $C_{1}$ ，圆 $C_{2}$ 上的动点， $P$ 为 $x$ 轴上的动点，则 $|P N| - |P M|$ 的最大值为.

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16、已知向量 $\vec{a} = (4, 2, - 4)$ ， $\vec{b} = (\frac{1}{3}, x, y)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $|\vec{b}| =$ ．

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17、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = \sqrt{2}$ ， $B A ⊥ B C$ ， $P A = P B = P C = 2$ ， $O$ 为 $A C$ 的中点，点 $M$ 是棱 $B C$ 上一动点，则下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为 $\sqrt{7} + \sqrt{3} + 1$ B、若 $M$ 为棱 $B C$ 的中点，则异面直线 $P M$ 与 $A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ C、若 $P C$ 与平面 $P A M$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{2}$ ，则二面角 $M - P A - C$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $P M + M A$ 的取值范围为 $[\sqrt{6 + 2 \sqrt{7}}, 4]$

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18、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、若空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 1)$ ， $\vec{b} = (0, 1, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、若空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为锐角 C、若对空间中任意一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{2}{3} \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 四点共面 D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{m} = (2, 4, - 2)$ ，平面 $α$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (- 1, - 2, 1)$ ，则 $l ⊥ α$

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19、下列说法正确的是（）

A、 $\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}} = k$ 不能表示过点 $M (x_{1}, y_{1})$ 且斜率为 $k$ 的直线方程 B、在 $x$ 轴、 $y$ 轴上的截距分别为 $a$ ， $b$ 的直线方程为 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ C、直线 $y = k x + b$ 与 $y$ 轴的交点到原点的距离为 $|b|$ D、设 $A (- 2, 2)$ ， $B (1, 1)$ ，若直线 $l$ ： $a x + y + 1 = 0$ 与线段 $A B$ 有交点，则实数 $a$ 的取值范围是 $(- \infty, - 2)$

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20、柏拉图多面体是因柏拉图及其追陮者对正多面体的研究而得名.如图是棱长均为 $a$ 的柏拉图多面体 $E A B C D F$ ，点 $P$ ， $Q$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $D E$ ， $A B$ ， $A D$ ， $B F$ 的中点，则异面直线 $P Q$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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