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相关试卷

1、若函数 $f (x)$ 对定义域中任意x均满足 $f (x) + f (2 a - x) = 2 b$ ，则称函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(a, b)$ 对称．

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + m x + m}{x}$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称，求实数m的值；

(2)、已知函数 $g (x)$ 在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的图象关于点 $(0, 1)$ 对称，且当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $g (x) = x^{2} + a x + 1$ ，求函数 $g (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上的解析式；

(3)、在（1）（2）的条件下，当 $t > 0$ 时，若对任意实数 $x \in (- \infty, 0)$ ，恒有 $g (x) < f (t)$ 成立，求实数a的取值范围．

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2、第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产 $x$ （千件）装备，需另投入资金 $R (x)$ （万元）.经计算与市场评估得 $R (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + a x, 0 \leq x < 40 \\ \frac{601 x^{2} - 1730 x + 3600}{2 x}, x \geq 40 \end{array}$ ，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金 $R (20) = 5200$ 万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件.

(1)、写出2023年利润 $W$ （万元）关于产量 $x$ （千件）的函数；（利润 $=$ 销售总额-总成本）

(2)、求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

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3、求下列不等式的解集．

(1)、 $x^{2} - 4 x - 4 \leq 0$

(2)、 $- 2 x^{2} + x < - 3$

(3)、 $x^{2} - (2 a + 2) x + a^{2} + 2 a \leq 0$

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4、已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 3}, B = {x ∣ 2 a - 1 \leq x \leq a + 1}$ ；

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $A \cup B$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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5、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y - x y = - 7$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为.

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6、设集合 $A = {1, - 2}, B = {x ∣ a x - 1 = 0, a \in R}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则满足条件的 $a$ 的集合为

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7、下列命题中正确的是（）

A、任意非零实数 $a$ ， $b$ ，都有 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$ B、当 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是2 C、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 D、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为3

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8、（多选）甲、乙两人在一次赛跑中，路程y与时间x的函数关系如下图所示，则下列说法不正确的是（）

A、甲比乙先出发 B、乙比甲跑的路程多 C、甲、乙两人的速度相同 D、甲先到达终点

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} - x + 3 a, x \geq 0 \\ x^{2} - a x + 1, x < 0 \end{cases}$ 在定义域 $R$ 上是减函数，则实数a的取值可以为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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10、黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为 $a_{1}, a_{2}$ ，且 $a_{1} \neq a_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、当且仅当 $a_{1} > a_{2}$ 时，方案一的平均购买成本比方案二更低 B、当且仅当 $a_{1} > a_{2}$ 时，方案二的平均购买成本比方案一更低 C、无论 $a_{1}, a_{2}$ 的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低 D、无论 $a_{1}, a_{2}$ 的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低

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11、下列关于幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的描述中，正确的是（）

A、幂函数的图象都经过点 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ B、幂函数的图象不经过第三象限 C、当指数 $α$ 取1，3， $\frac{1}{2}$ 时，幂函数 $y = x^{α}$ 是其定义域上的增函数 D、幂函数的图象过点 $(\frac{1}{4}, 8)$ ，则 $f (9) = \frac{1}{18}$

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12、若 $1 \leq a \leq 2$ ， $- 2 < b \leq 1$ ，则 $2 a - b$ 的取值范围为（）

A、 $4 \leq 2 a - b \leq 7$ B、 $4 < 2 a - b \leq 7$ C、 $1 \leq 2 a - b \leq 10$ D、 $1 \leq 2 a - b < 6$

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13、设全集 $U = R$ ， $M = \{x | x < - 1 或x ＞ 2\}$ ， $N = \{x | 1 \leq x \leq 4\}$ ，如图，阴影部分所表示的集合为（）

A、 $\{x | - 1 \leq x \leq 4\}$ B、 ${x | - 1 \leq x < 1}$ C、 $\{x | x \leq 1 或x ＞ 2\}$ D、 $\{x | - 1 \leq x \leq 2\}$

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14、命题“ $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 3$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 3$ B、 $\forall x \leq 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 3$ C、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} < 3$ D、 $\exists x \leq 0$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 3$

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15、给出下列关系：① $\frac{1}{2} \in R$ ；② $2 \in Z$ ；③ $| - 3 | \notin N$ ；④ $|- \sqrt{3}| \in Q$ 其中正确的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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16、设函数 $y = \sin (2 x + φ)$ （ $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象与直线 $y = t$ 相交的连续的三个公共点从左到右依次记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，若 $|B C| = 2 |A B|$ ，则正实数 $t$ 的值为.

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17、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为偶函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = a$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a)$ 为偶函数.

(1)、已知函数 $φ (x) = x^{2} - 2 x + a (e^{x - 1} + e^{- x + 1})$ ，求该函数图象的对称轴方程；

(2)、若函数 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称，且当 $x \geq 1$ 时， $g (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ .
①求 $g (x)$ 的解析式；
②求不等式 $g (x) > g (3 x - 1)$ 的解集.

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18、某公司研发了一款新型的洗衣液，其具有“强力去渍、快速去污”的效果.研发人员通过多次试验发现每投放 $a (1 \leq a \leq 4, a \in R)$ 克洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 $y$ （克/升）随着时间 $x$ （分钟）变化的函数关系式近似为 $y = a \cdot f (x)$ ，其中 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x, 0 \leq x \leq 4 \\ \frac{6}{x - 3} + 2, x > 4 \end{array}$ ，且当水中洗衣液的浓度不低于16克/升时，才能够起到有效去污的作用.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.

(1)、若一次投放4克的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？

(2)、如果第一次投放4克洗衣液，4分钟后再投放4克洗衣液，写出第二次投放之后洗衣液在水中释放的浓度 $y$ （克/升）与时间 $x$ （分钟）的函数关系式，其中 $x$ 表示第一次投放的时长，并判断接下来的4分钟是否能够持续有效去污.

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19、已知 $f (x)$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若 $a, b \in [- 1, 1]$ ， $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ .
（1）判断函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；
（2）若 $f (x) \leq m^{2} - 5 m t - 5$ 对所有 $x \in [- 1, 1]$ ， $t \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x - a - 1$ ， $a \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) \geq 6$ ；

(2)、若 $\exists x_{0} \in [0, 2]$ ，使得 $f (x_{0}) > 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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