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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + 3, x \geq 0 \\ - x + 2, x < 0 \end{array}$ ，则 $f (f (- 1)) =$ （）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 4$ D、4

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2、已知平面上动点 $M (x, y)$ 与定点 $(1, 0)$ 的距离和 $M$ 到定直线 $x = 2$ 的距离的比是常数 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 两个不同的点.

(1)、若直线 $l$ 的方程为 $y = 2 x + 2$ ，求 $△ O P Q$ 的面积；

(2)、若 $△ O P Q$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，证明： $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 和 $y_{1}^{2} + y_{2}^{2}$ 均为定值.

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3、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A$ 是 $C$ 上在第一象限的一点，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $A B ⊥ y$ 轴， $|A B| = 2$ ， $|A F| = 3$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过 $F$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $△ M O N$ 的面积为 $\sqrt{5}$ （ $O$ 为坐标原点），求直线 $M N$ 的方程．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 2\}$ 为等比数列；

(2)、求数列 $\{n a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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5、在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 7, a_{9} = - 5,$ ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求 $S_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值；

(3)、设 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{n} |$ ，求 $T_{n}$ ．

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，若双曲线不存在以点 $(2 a, a)$ 为中点的弦，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围是．

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7、如图，两个正方形ABCD，CDEF的边长都是2，且二面角 $A - C D - E$ 为60°，M，N为对角线AC和FD上的动点，且满足 $A M = F N$ ，则线段MN长的最小值为．

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8、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n} = 3^{n} - 2$ ，则 $a_{n} =$

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9、 $|x| + |y|$ 称为点 $P (x, y)$ 的“ $δ$ 和”，下列说法正确的是（）

A、“ $δ$ 和”为1的点 $P (x, y)$ 的轨迹围成的图形的面积为2 B、设 $P$ 是直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上任意一点，则点 $P (x, y)$ 的“ $δ$ 和”的最小值为2 C、设 $P$ 是直线 $a x - y + 2 = 0$ 上任意一点，则使得“ $δ$ 和”最小的点有无数个的充要条件是 $a = 1$ D、设 $P$ 是椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 上任意一点，则“ $δ$ 和”的最大值为 $\sqrt{3}$

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10、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（）

A、 $△ F_{1} P F_{2}$ 的周长为6 B、若 $∠ F_{1} P F_{2} = 60 °$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{3}$ C、椭圆C上存在两个点，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ D、 $\frac{1}{2 |P F_{1}|} + \frac{2}{|P F_{2}|}$ 的最小值为 $\frac{9}{8}$

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11、已知曲线 $C : a x^{2} + a y^{2} - 2 x + 4 a^{2} y = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，曲线 $C$ 是一条直线 B、当 $a \neq 0$ 时，曲线 $C$ 是一个圆 C、当曲线 $C$ 是圆时，它的面积的最小值为 $2 π$ D、当曲线 $C$ 是面积为 $5 π$ 的圆时， $|a| = 1$

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12、机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为8cm，旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于（）

A、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{3 \sqrt{17}}{17}$ D、 $\frac{5 \sqrt{22}}{22}$

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13、若圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 10 = 0$ 上至少有三个不同的点到直线 $l : a x + b y = 0$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}]$ B、 $[\frac{π}{9}, \frac{5 π}{12}]$ C、 $[\frac{π}{12}, \frac{5 π}{11}]$ D、 $[\frac{π}{9}, \frac{5 π}{11}]$

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14、长方体 $A B C D - A B C_{1} D_{1}$ ， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，动点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}} (λ, μ \in [0, 1])$ ， $A P ⊥ B D_{1}$ ，则二面角 $P - A D - B$ 的正切值的取值范围是（）

A、 $[0, \frac{1}{4}]$ B、 $[0, \frac{1}{2}]$ C、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $[\frac{1}{2}, 1]$

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15、已知直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为矩形， $A B = 1$ ， $B C = 3$ ，且 $\vec{C_{1} M} = \frac{1}{2} \vec{M B_{1}}$ ，若点 $B$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则点 $C$ 到直线 $A M$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{30}$ B、 $\frac{\sqrt{30}}{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$

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16、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $2 x - y + z = 2$ ，点 $M (- 1, 2, 1)$ ，则点 $M$ 到平面 $α$ 距离为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{102}}{102}$ B、 $\frac{\sqrt{102}}{34}$ C、 $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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17、若动点 $P (x, y)$ 满足方程 $|\sqrt{{(x + 2)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}}| = 3$ ，则动点P的轨迹方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} - \frac{y^{2}}{\frac{7}{4}} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{7}{4}} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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18、在各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{6} = 2 a_{5} + 3 a_{4}$ ，若存在两项 $a_{m}$ ， $a_{k}$ 使得 $\sqrt{a_{m} a_{k}} = 3 a_{1}$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{4}{k}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{3}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、2

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $D$ 为棱 $B C$ 上一点，且 $C D = 2 B D$ ，点 $M$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、以 $\{\overset{⃑}{A B}, \overset{⃑}{A C}, \overset{⃑}{A P}\}$ 为一组基底表示向量 $\overset{⃑}{P M}$ ；

(2)、若 $A B = A C = 3$ ， $A P = 4$ ， $∠ B A C = ∠ P A C = 60^{\circ}$ ，求 $\overset{⃑}{P M} \cdot \overset{⃑}{A C}$ ．

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20、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x| x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ， $B = \{x| 1 < 2^{x} < 16\}$ ．

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、设集合 $D = {x| a < x < a + 3, a \in R}$ ，若 $D \subseteq \bar{A}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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