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相关试卷

1、已知 $x + y = 0$ ，则 $\sqrt{x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 2} + \sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{15}$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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2、已知直线l过点 $(- 3, 4)$ 且方向向量为 $(1, - 2)$ ，则l在x轴上的截距为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 5$ D、5

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3、已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots, n\} (n \in N, n \geq 3), W \subseteq A$ 且 $W$ 中元素的个数为 $m (m \geq 2)$ ．若存在 $u$ ， $v \in W (u \neq v ）$ 得 $u + v$ 为2的正整数指数幂，则称 $W$ 为 $A$ 的弱 $P (m)$ 子集；若对任意的 $s, t \in W (s \neq t), s + t$ 均为2的正整数指数幂，则称 $W$ 为 $A$ 的强 $P (m)$ 子集．

(1)、请判断集合 $W_{1} = \{1, 2, 3\}$ 和 $W_{2} = \{2, 3, 4\}$ 是否为 $A$ 的弱 $P (3)$ 子集，并说明理由；

(2)、是否存在 $A$ 的强 $P (3)$ 子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；

(3)、若 $n = 11$ ，且 $A$ 的任意一个元素个数为 $m$ 的子集都是 $A$ 的弱 $P (m)$ 子集，求 $m$ 的最小值．

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4、甲、乙两人参加玩游戏活动，每轮游戏活动由甲、乙各玩一盘，已知甲每盘获胜的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每盘获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ .在每轮游戏活动中，甲和乙获胜与否互不影响，各轮结果也互不影响，则甲、乙两人在两轮玩游戏活动中共获胜3盘的概率为.

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5、已知集合 $A = \{0, 2, 4, 6\}, B = \{x ∣ 0 < 3^{x} \leq 81\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2, 4\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{2\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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6、设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，右焦点 $F (1, 0)$ ， $|A_{2} F| = 1$ ．

(1)、求椭圆方程及其离心率；

(2)、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 $A_{2} P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$ ，若 $△ A_{1} P Q$ 的面积是 $△ A_{2} F P$ 面积的 $2$ 倍，求直线 $A_{2} P$ 的方程．

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7、半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为 $\sqrt{2}$ ，则（）

A、 $B F ⊥$ 平面EAB B、该二十四等边体的体积为 $\frac{20}{3}$ C、该二十四等边体外接球的表面积为 $6 π$ D、PN与平面EBFN所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、如图已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， M，N分别是 $A_{1} D$ ， $D_{1} B$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 垂直，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ B、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 平行，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$ C、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 相交，直线 $M N / /$ 平面 $A B C D$ D、直线 $A_{1} D$ 与直线 $D_{1} B$ 异面，直线 $M N ⊥$ 平面 $B D D_{1} B_{1}$

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9、已知曲线 $f (x) = a x^{2} + ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $x$ 轴相交于点 $(\frac{1}{3}, 0)$ ，则实数 $a =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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10、某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点）进行纳税，计划可收购 $a$ 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税降低 $x$ （ $x > 0$ ）个百分点，预测收购量可增加 $2 x$ 个百分点.
（1）写出税收 $y$ （万元）与 $x$ 的函数关系式；
（2）要使此项税收在税率调整后不少于原计划税收的 $83.2 %$ ，试确定 $x$ 的取值范围

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11、已知集合 $M = \{x | x \in N, 0 < x \leq 15\}$ ， $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $A_{3}$ 满足：① $A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} = M$ ；②每个集合都恰有5个元素.集合 $A_{i} (i = 1, 2, 3)$ 中最大元素与最小元素之和称为 $A_{i}$ 的特征数，记为 $X_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，则 $X_{1} + X_{2} + X_{3}$ 的值不可能为（）

A、37 B、39 C、48 D、57

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12、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点为 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{3}$ . $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 、 $B$ 的圆 $G$ 交直线 $x = 1$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，直线 $A M$ 、 $A N$ 分别交椭圆 $E$ 于 $P$ 、 $Q$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、记直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值；

(3)、证明：直线 $P Q$ 过定点，并求该定点坐标.

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13、关于方程 $m x^{2} + n y^{2} = 1$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $m > n > 0$ ，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B、若 $m = n > 0$ ，则该方程表示圆，其半径为 $\sqrt{n}$ C、若 $n > m > 0$ ，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D、若 $m = 0, n > 0$ ，则该方程表示两条直线

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14、不等式 $x^{2} - (m + 1) x + m < 0$ 的解集中恰有三个整数，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $\{m |- 3 \leq m \leq 5\}$ B、 $\{m |- 2 \leq m < - 1$ 或 $4 < m \leq 5\}$ C、 $\{m |- 3 < m < 1$ 或 $4 < m < 5\}$ D、 $\{m |- 3 \leq m < - 2$ 或 $4 < m \leq 5\}$

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15、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a b \geq 1$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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16、已知集合 $A = \{x| - 2 < x < 4\}$ ， $B = \{x| x - m < 0\}$ ．
（1）若 $m = 3$ ，全集 $U = A \cup B$ ，试求 $A \cap (∁_{U} B)$ ；
（2）若 $A \cap B = \emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围；
（3）若 $A \cap B = A$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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17、已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列说法正确的是（）

A、对 $\forall a \in A$ ，都有 $a \notin B$ B、对 $\forall b \in B$ ，都有 $b \notin A$ C、存在a，满足 $a \in A$ 且 $a \notin B$ D、存在a，满足 $a \in A$ 且 $a \in B$

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18、2023年10月26日，中国的神舟十七号载人飞船与“天宫”空间站成功对接，形成三舱三船组合体．某地区为了激发当地人民对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 $m$ 人，这 $m$ 人按年龄分成5组，其中第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图．已知第一组有10人．

(1)、根据频率分布直方图，估计这 $m$ 人的第60百分位数（精确到0.1）；

(2)、现从第四组和第五组用分层随机抽样的方法抽取6人，担任“党章党史”宣传使者．
①有甲（年龄36），乙（年龄42），且甲、乙确定入选，从6人中要选择两个人担任组长，求甲、乙两人至少有一人被选上组长的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和 $\frac{5}{2}$ ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，估计这 $m$ 人中35－45岁所有人年龄的平均数和方差．

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19、已知 $- 1 \leq x + y \leq 1$ ， $1 \leq x - y \leq 3$ ，则 $3 x - 2 y$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 8]$ B、 $[3, 8]$ C、 $[2, 7]$ D、 $[5, 10]$

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20、某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照 $[30, 50)$ ， $[50, 70)$ ， $[70, 90)$ ， $[90, 110)$ ， $[110, 130)$ ， $[130, 150]$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：

请完成以下问题：

(1)、估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；

(2)、为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 $[50, 70)$ 和 $[70, 90)$ 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在 $[50, 70)$ 内的概率.

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