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相关试卷

1、已知集合 $A = {- 1, 1, 2, 4}$ ， $B = \{x |x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2}$ B、 ${- 1, 1}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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2、如图，空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上， $O M = 2 M A$ ，点 $N$ 为 $B C$ 中点，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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3、我们知道复数有三角形式 $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ，其中 $r$ 为复数的模， $θ$ 为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若 $\vec{O Z_{1}} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $\vec{O Z_{2}} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，则 $r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \cdot r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2}) = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$ . 其几何意义是把向量 $\vec{O Z_{1}}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $θ_{2}$ （如果 $θ_{2} < 0$ ，就要把 $\vec{O Z_{1}}$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转角 $|θ_{2}|$ ），再把它的模变为原来的 $r_{2}$ 倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形 $O A B C$ ，其边长为 $1$ ， $∠ A O C = 120^{\circ}$ ，点 $A, B, C$ 所对应的复数分别为 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $z_{3}$ .

(1)、若 $z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ，求出 $z_{2}$ ， $z_{3}$ ；

(2)、如图，若 $P (3, 0)$ ，以 $P A$ 为边作正方形 $A P M N$ .
（ⅰ）若 $M, N$ 在 $A P$ 下方，是否存在复数 $z_{1}$ 使得 $O M$ 长度为 $\sqrt{19 - 6 \sqrt{2}}$ ，若存在，求出复数 $z_{1}$ ；若不存在，说明理由；
（ⅱ）若 $M, N$ 在 $A P$ 上方，且向量 $\sqrt{x y} \vec{P M} = x \vec{O A} + y \vec{O C}$ ，求证： $5 \leq \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \leq 8$ .

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4、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ， $E$ 为 $C D$ 中点，且 $\vec{A F} = λ \vec{A D} (0 \leq λ \leq 1)$ ， .设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ， $\vec{B F}$ ；

(2)、若 $\vec{A N} ⊥ \vec{B N}$ ，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $\vec{B F} \cdot \vec{F E}$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = {sin}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x + 3 {cos}^{2} x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、求 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $x \in [0, 2 π]$ 上所有实数根的和.

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6、如图，设E、F、G分别是正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的共点的三条棱 $A_{1} B_{1}$ 、 $B_{1} B$ 、 $B_{1} C_{1}$ 的中点，过这三个点的平面截正方体得到的一个“角”是四面体 $B_{1} E F G$ . 设正方体的棱长为1.

(1)、在四面体 $B_{1} E F G$ 中，求顶点 $B_{1}$ 到底面 $E F G$ 的距离；

(2)、如果将正方体按照题设的方法截去八个“角”，那么剩余的多面体有几个顶点、几条棱、几个面？并求这个剩余多面体的表面积与体积.

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对应边分别为 $a, b, c$ ，且 $(2 c + b) \cos A + a \cos B = 0$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{15 \sqrt{3}}{4}$ ，周长为15，求 $a$ ．

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8、若 $\sin (\frac{π}{12} - \frac{α}{2}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (2 α - \frac{π}{3}) =$ .

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9、已知复数 $z$ 满足： ${(1 - i)}^{2} z = 4 + 2 i^{2024}$ ，则 $|z| =$ .

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10、如图，一条河两岸平行，河的宽度 $d = 500 m$ ，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度 ${\vec{v}}_{1}$ 的大小 $|{\vec{v}}_{1}| = 10 km/h$ ，水流方向为正东方向，其速度 ${\vec{v}}_{2}$ 的大小为 $|{\vec{v}}_{2}| = 2 km/h$ ，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（）
参考数据： $\sqrt{6} \approx 2.45$

A、这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， ${\vec{v}}_{1} ⊥ {\vec{v}}_{2}$ B、这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C、这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D、这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短

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11、函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，则（）．

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数图象的对称轴方程为 $x = \frac{3}{2} k π - \frac{π}{2}$ ， $k \in Z$ C、该函数的单调递增区间是 $(3 k π - \frac{5 π}{4}, 3 k π + \frac{π}{4})$ ， $k \in Z$ D、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

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12、“虚数”这个词是 $17$ 世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数，也不能解决代数方程的求解问题，像 $x^{2} + 1 = 0$ 这样最简单的二次方程，在实数范围内没有解.引进虚数概念以后，代数方程的求解问题才得以解决.设 $t$ 是方程 $x^{2} + x + 1 = 0$ 的根，则（）

A、 $t^{3} = 1$ B、 $t + \bar{t} = - 1$ C、 $- t$ 是该方程的根 D、 $t^{2021}$ 是该方程的根

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13、已知“水滴”的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”）所围成的几何体.如图所示，将“水滴”的轴截面看成由线段 $A B, A C$ 和优弧 $B C$ 所围成的平面图形，其中点 $B, C$ 所在直线与水平面平行， $A B$ 和 $A C$ 与圆弧相切.已知“水滴”的“竖直高度”与“水平宽度”（“水平宽度”指的是平行于水平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为 $\frac{4}{3}$ ，则 $sin ∠ B A C =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{16}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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14、圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（）

A、 $6 \sqrt{2}$ B、6 C、 $6π$ D、 $3π$

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15、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 斜二测画法的直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的边 $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则原 $△ A B C$ 中角A的角平分线长度是（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、 $3 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{5}$

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16、已知角 $α$ ， $β$ 满足 $\cos α = \frac{1}{3}$ ， $\cos (α + β) \cos β = \frac{1}{4}$ ，则 $cos (α + 2 β)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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17、已知复数 $z$ 满足 $|z - 4 + 5 i| = 1$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 4$ 的零点所在的区间是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3)$

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19、已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{a - 2^{x}}{b + 2^{x}}$ 是奇函数.

(1)、求 $a$ 、 $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 的单调性并证明；

(3)、若存在 $t \in [0, 4]$ ，使 $f (k + t^{2}) + f (4 k - 2 t^{2}) < 0$ 成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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20、若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在 $k$ 个不同点 $P_{1}$ 、 $P_{2}$ 、 $\dots$ 、 $P_{k} (k \geq 2, k \in N)$ 处的切线重合，则称该切线为函数 $y = f (x)$ 的一条 $k$ 点切线，该函数具有 $k$ 点切线性质．

(1)、判断函数 $y = x^{2} - 2 |x|$ ， $x \in R$ 的奇偶性并写出它的一条 $2$ 点切线方程（无需理由）；

(2)、设 $f (x) = e^{x} - ln x$ ，判断函数 $y = f (x)$ 是否具有 $k$ 点切线性质，并说明理由；

(3)、设 $g (x) = cos x + 2 x$ ，证明：对任意的 $m \geq 3$ ， $m \in N$ ，函数 $y = g (x)$ 具有 $m$ 点切线性质，并求出所有相应的切线方程．

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