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相关试卷

1、如图，在扇形OPQ中，半径 $O P = 1$ ，圆心角 $∠ P O Q = \frac{π}{6}$ ， C是扇形弧PQ上的动点，矩形 $A B C D$ 内接于扇形，记 $∠ P O C = α$ ．则下列说法正确的是（）

A、弧PQ的长为 $\frac{π}{6}$ B、扇形OPQ的面积为 $\frac{π}{6}$ C、当 $\sin α = \frac{1}{3}$ 时，矩形 $A B C D$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{9}$ D、矩形 $A B C D$ 的面积的最大值为 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

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2、下列说法正确的是（）

A、命题：“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是“ $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ ” B、函数 $f (x) = a^{x - 2} + 1 (a > 0 且 a \neq 1)$ 恒过定点 $(2, 2)$ C、函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x^{2} + 2 x + 2}$ 的值域为 $[\frac{1}{2}, + \infty)$ D、已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[1, 3]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$

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3、下列命题正确的是（）

A、若 $a > b, c < d$ ，则 $a - c > b - d$ B、若 $a < b, c < d$ ，则 $a c < b d$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |lg (- x)| + 1, x < 0 \\ {(\frac{1}{2})}^{x} + 1, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则函数 $y = f^{2} (x) - 3 f (x) + 2$ 的零点个数是（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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5、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + φ) (0 < φ < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x + \frac{π}{6})$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在区间 $[- a, a]$ 上不单调，则（）

A、 $a > \frac{π}{6}$ B、 $a > \frac{π}{3}$ C、 $a < \frac{π}{6}$ D、 $a < \frac{π}{3}$

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6、某机器上有相互啮合的大小两个齿轮，大轮有 $50$ 个齿，小轮有 $15$ 个齿，大轮每分钟转 $3$ 圈，若小轮的半径为 $2 cm$ ，则小轮每秒转过的弧长是（） $cm$ ．

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $5 π$ D、 $10 π$

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且在 $[0, + \infty)$ 上是单调递增的，设 $a = f (\tan \frac{π}{3}), b = f ({0.2}^{0.5})$ ， $c = f (\log_{2} \frac{1}{5})$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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8、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 8) x^{m - 2}$ ，且 $f (x)$ 的图象在第一象限内单调递增，则实数 $m =$ （）

A、0 B、 $- 3$ C、3 D、3或 $- 3$

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9、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 2}{x - 3} < 0\}$ ， $B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ ( ).

A、 $(1, 2)$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$

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10、已知 $f (x)$ 是定义在 $[- 1, 1]$ 上的奇函数，且 $f (1) = 1$ ，若对任意的 $a, b \in [- 1, 1]$ 且 $a + b \neq 0$ 时，有 $\frac{f (a) + f (b)}{a + b} > 0$ 成立.

(1)、证明： $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上单调递增；

(2)、解不等式： $f (x + \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{1 - x}) < 0$ ；

(3)、若 $f (x) \leq m^{2} - 2 a m + 1$ 对所有的 $x \in [- 1, 1]$ ， $a \in [- 1, 1]$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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11、已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x + 1}$

(1)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上是增函数；

(2)、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1, + \infty)$ ，且 $f (m^{2} - m - 1) < f (11 - 2 m)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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12、已知实数 $m$ ， $n$ 满足 $2^{m} = 5^{n} = 10$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为．

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13、对于函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in R$ ，使 $f (x_{0}) = x_{0}$ 成立，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b + 1) x + (b - 1) (a \neq 0)$ .

(1)、当 $a = 1, b = - 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的不动点；

(2)、若对任意实数 $b$ ，函数 $f (x)$ 恒有两个相异的不动点，求 $a$ 的取值范围；

(3)、在（2）的条件下，若 $f (x)$ 的两个不动点为 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) + x_{2} = \frac{- a}{a + 1}$ ，求实数 $b$ 的取值范围.

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14、已知点 $A (0, - \sqrt{3})$ ， $B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = λ$ ，在下列条件中选择一个，并回答问题（1）和（2）．
条件①： $λ = \frac{3}{4}$ ；条件②： $λ = - \frac{3}{4}$ ．
问题：

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{| O P |^{2}} + \frac{1}{| O Q |^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $D C ∥ A B$ ， $P A = A D = D C = 1, A B = 2$ ， $E$ 为棱 $P B$ 上一点．

(1)、若 $E$ 是 $P B$ 的中点，求证：直线 $C E //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $\vec{P E} = λ \vec{P B}$ ，且二面角 $E - A C - B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求三棱锥 $E - A B C$ 的体积

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16、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x \leq 0 \\ - x^{2} + x + \frac{1}{4}, x > 0 \end{array}$ ，若方程 $f (x) = b$ 有且仅有1个实数根，则实数 $b$ 的取值范围是．

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17、已知抛物线 $C :$ $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，直线 $m$ 过 $D$ 且交 $C$ 于不同的 $A, B$ 两点， $B$ 在线段 $A D$ 上，点 $P$ 为 $A$ 在 $l$ 上的射影．线段 $P F$ 交 $y$ 轴于点 $E$ ，下列命题正确的是（）

A、对于任意直线 $m$ ，均有 $A E ⊥ P F$ B、不存在直线 $m$ ，满足 $\vec{B F} = 2 \vec{E B}$ C、对于任意直线 $m$ ，直线 $A E$ 与抛物线 $C$ 相切 D、存在直线 $m$ ，使 $|A F| + |B F| = 2 |D F|$

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18、已知当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + b x^{2} + 3$ 取得最大值2，则 $f (3) =$ （）

A、 $2 \ln 3 + 2$ B、 $- \frac{16}{3}$ C、 $2 \ln 3 - 6$ D、 $- 4$

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19、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{7} > 0$ ， $a_{6} + a_{9} < 0$ ，则（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列 B、 $a_{8} > 0$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{7}$ D、 $S_{14} > 0$

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20、某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则 $P (B| A)$ 等于（）

A、 $\frac{4}{11}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{43}{55}$ D、 $\frac{4}{7}$

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