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相关试卷

1、已知 $\frac{2}{z} = 1 - i$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $3i$

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2、已知集合 $A = \{x |x \geq 0\}, B = \{x |x \leq 3\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(3, + \infty)$

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3、随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： $cm$ ），按照区间 $[160, 165)$ ， $[165, 170)$ ， $[170, 175)$ ， $[175, 180)$ ， $[180, 185]$ 分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示．

（1）求频率分布直方图中 $x$ 的值及身高在 $170 cm$ 及以上的学生人数；
（2）估计该校100名生学身高的75％分位数．
（3）若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $m$ ， $\bar{x}$ ， $S_{1}^{2}$ ； $n$ ， $\bar{y}$ ， $S_{2}^{2}$ ．记总的样本平均数为 $\bar{w}$ ，样本方差为 $S^{2}$ ，证明：
① $\bar{w} = \frac{m}{m + n} \bar{x} + \frac{n}{m + n} \bar{y}$ ；
② $S^{2} = \frac{1}{m + n} \{m [S_{1}^{2} + {(\bar{x} - \bar{w})}^{2}] + n [S_{2}^{2} + {(\bar{y} - \bar{w})}^{2}]\}$ ．

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4、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，则下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $2 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $2 π R^{2}$ C、圆柱的侧面积与球的表面积相等 D、圆柱、圆锥、球的体积之比为 $3 : 1 : 2$

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5、已知 $a > b > 0 > c$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $\frac{c}{a} < \frac{c}{b}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{a}{b}$ C、 $\frac{b - c}{a - c} < \frac{b}{a}$ D、 $\frac{2}{a} + b < \frac{2}{b} + a$

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6、定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：① $f (- x) - f (x) = 0$ ， ②对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $f (- \sqrt{7})$ ， $f (π)$ ， $f (- 3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (π) > f (- 3) > f (- \sqrt{7})$ B、 $f (π) > f (- \sqrt{7}) > f (- 3)$ C、 $f (π) < f (- 3) < f (- \sqrt{7})$ D、 $f (π) < f (- \sqrt{7}) < f (- 3)$

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7、设 $f (x) = x - 1 - ln x$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $(\frac{1}{e}, f (\frac{1}{e}))$ 处的切线方程；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq 0$ ；

(3)、证明：对于任意正整数 $n$ 都有 $(1 + \frac{1}{2}) (1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{2^{3}}) \dots (1 + \frac{1}{2^{n}}) < 3$ 恒成立.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D, D A ⊥ D C, A B / / C D, D A = D C = A B = D P$ ， $E ､ F$ 分别在棱 $P C ､ P B$ 上， $P A$ $∥$ 平面 $E D B$ .

(1)、若 $F$ 是 $P B$ 的中点，求 $E F$ 与平面 $E D B$ 所成角的余弦值；

(2)、若 $E F ⊥ P B$ ，求平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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9、已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ ，则通项公式 $a_{n} =$ .

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10、过点 $M (- 1, 1)$ ，且圆心与已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 相同的圆的方程为．

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11、下列选项中，说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\log_{\frac{1}{2}} a > \log_{\frac{1}{2}} b$ B、向量 $\overset{⇀}{a} = (1, m)$ ， $\vec{b} = (m, 2 m - 1) (m \in R)$ 共线的充要条件是 $m = 0$ C、命题“ $\forall n \in N^{*}$ ， $3^{n} > (n + 2) \cdot 2^{n - 1}$ ”的否定是“ $\forall n \in N^{*}$ ， $3^{n} \leq (n + 2) \cdot 2^{n - 1}$ ” D、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，则“ $a_{1} > 0$ ”是“ $S_{3} > S_{2}$ ”的充要条件

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12、对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的（）

A、极差为6 B、平均数为5.25 C、30百分位数为3 D、众数为6

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13、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{m}$ （ $m > 1$ 且 $m \in Z$ ），则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“幂 $m$ 数列”．已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 是“幂2数列”且 $a_{2} - a_{1} = 2$ ，设 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则 $T_{10} =$ （）

A、1024 B、1023 C、 $2^{1024}$ D、 $2^{1023}$

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14、已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，点P是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上任意一点，则 $△ P A B$ 面积的最小值为（）

A、2 B、1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} f^{'} (1) x^{2} + \ln x + \frac{f (1)}{3 x}$ $，$ 则 $f^{'} (2) =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{25}{4}$ D、 $\frac{33}{4}$

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16、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(2^{x})}^{'} = x \cdot 2^{x - 1}$ B、 ${(3 e^{x})}^{'} = 3 e^{x}$ C、 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{'} = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$ D、 ${(\frac{x}{\cos x})}^{'} = \frac{\cos x - x \sin x}{{(\cos x)}^{2}}$

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17、复数 $z = \frac{3 - i}{i}$ （i为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）

A、 $(1,3)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(- 1, - 3)$ D、 $(- 3, - 1)$

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18、下列图形中，可以表示函数 $y = f (x)$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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19、若函数 $f (x) = x^{3} - 3 a x^{2} + 12 x (a > 0)$ 存在两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的取值范围是．

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20、已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面三角形 $A B C$ 为正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B = 2, A A_{1} = 4$ ， $E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 中点.
（1）求证：直线 $A F / /$ 平面 $B E C_{1}$ ；
（2）求平面 $B E C_{1}$ 和平面 $A B C$ 所成的锐二面角的余弦值.

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