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相关试卷

1、已知函数 $g (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ （ $a \in R$ ）．

(1)、求 $g (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x) = g (x) + a x^{2} - (2 + a) x$ ， $x_{1}, x_{2} (0 < x_{1} < x_{2})$ 是函数 $f (x)$ 的两个零点，证明： $f^{'} (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) < 0$ ．

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2、设各项非零的数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和记为 $S_{n}$ ，记 $T_{n} = S_{1} \cdot S_{2} \cdot S_{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot S_{n}$ ，且满足 $2 S_{n} T_{n} - S_{n} - 2 T_{n} = 0$ ，

(1)、求 $T_{1}$ ， $T_{2}$ 的值，并求数列 $\{T_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + \frac{{(- 1)}^{n}}{n a_{n}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $K_{n}$ ．

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3、随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星．某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行分析得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、求5G手机的价格75%分位数；

(2)、某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500~6500的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层随机抽样的方式提供了9部手机让其从中购买两部，假定选择每部手机是等可能的，设这两人购买同一价位区间的手机的数量为X，求 $E (X)$

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4、若曲线 $y = ln (x + 1) + x$ 在原点处的切线也是曲线 $y = e^{x} - 2 + a$ 的切线，则 $a =$ ．

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5、设函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则（）

A、存在a，b，使得 $x = b$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称轴 B、存在a，使得点 $(1, f (1))$ 为曲线 $y = f (x)$ 的对称中心 C、当 $a < 0$ 时， $x = a$ 是 $f (x)$ 的极大值点 D、当 $a > 1$ 时， $f (x)$ 有三个零点

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6、豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）

A、m的值是32% B、随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C、若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则 $P (B | A) = \frac{8}{37}$ D、若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件

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7、已知向量 $\vec{m} = (cos α, sin (π + α))$ ， $\vec{n} = (sin (\frac{π}{2} + β), sin β)$ 则（）

A、 $\vec{m} \cdot \vec{n} = cos (α + β)$ B、 ${\vec{m}}^{2} + {\vec{n}}^{2} = 2$ C、若 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ，则 $α + β = 2 k π (k \in Z)$ D、 $|\vec{m} + \vec{n}| \leq 2$

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8、设函数 $f (x) = {\begin{matrix} | \ln x |, x > 0 \\ e^{x} (x + 1), x \leq 0 \end{matrix}$ ，若方程 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) + \frac{1}{16} = 0$ 有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ 或1 C、1 D、 $\frac{2}{3}$ 或2

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9、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，圆 $O_{1}$ 的方程为 ${(x + 1)}^{2} + {(y - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$ ，动点 $P$ 在曲线 $E$ 上运动，动点 $Q$ 在圆 $O_{1}$ 上运动，若 $△ A_{1} A_{2} P$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，记 $|P Q|$ 的最大值和最小值分别为 $m$ 和 $n$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{7}$ C、 $3 \sqrt{7}$ D、 $4 \sqrt{7}$

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10、已知 ${(a x + \frac{b}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中 $x^{\frac{3}{2}}$ 项的系数为160，则当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时， $a + b$ 的最小值为（）

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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11、风车又称“风谷车”，相传是春秋时期鲁国人鲁班发明，由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件组成．风车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力，风吹谷子将谷壳与谷粒分离．已知某风车将谷壳和谷粒分离后，谷壳和谷粒体积的比例大概为1：5，顶部梯形状的漏斗（谷子的入料仓，也称“盛斗”）可看作是正四棱台，如图2所示，该几何体上、下底面边长分别为 $30cm$ ， $18cm$ ，若使用该风车将漏斗装满后，分离出的谷粒有 ${6860cm}^{3}$ ，则漏斗的高为（）

A、 $\frac{8575}{882} cm$ B、 $\frac{8575}{588} cm$ C、 $14cm$ D、 $42cm$

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12、已知 $a = \sqrt[4]{π}$ ， $b = \log_{\frac{1}{4}} (l nπ)$ ， $c = {(\frac{1}{4})}^{1.7}$ 则a，b，c的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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13、若 $\frac{z}{z - 1} = 1 + i$ ，则复数 $z$ 的模为（）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2$

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14、已知函数 $f (x) = \log_{2} (a x^{2} + 2 x + 3)$ ，若对于任意实数k，总存在实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = k$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1, \frac{1}{3})$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[\frac{1}{3}, + \infty)$ D、 $[0, \frac{1}{3}]$

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15、如图所示，用符号语言可表达为（）

A、 $α \cap β = m$ ， $n \subset α$ ， $m \cap n = A$ B、 $α \cap β = m$ ， $n \in α$ ， $m \cap n = A$ C、 $α \cap β = m$ ， $n \subset α$ ， $A \subset m$ ， $A \subset n$ D、 $α \cap β = m$ ， $n \in α$ ， $A \in m$ ， $A \in n$

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16、如图，已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，抛物线 $C$ 的准线与 $x$ 轴交于点 $D$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ （直线 $l$ 的倾斜角为锐角）与抛物线 $C$ 相交于 $A ， B$ 两点（A在 $x$ 轴的上方， $B$ 在 $x$ 轴的下方），过点 A作抛物线 $C$ 的准线的垂线，垂足为 $M$ ，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 的准线相交于点 $N$ ，则（）

A、当直线 $l$ 的斜率为1时， $|A B| = 4 p$ B、若 $|N F| = |F M|$ ，则直线 $l$ 的斜率为2 C、存在直线 $l$ 使得 $∠ A O B = 90^{\circ}$ D、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线 $l$ 的倾斜角为 $60^{\circ}$

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1 (a > 0)$ .

(1)、求不等式 $f (x) > a x$ 的解集；

(2)、记函数 $y = f (2^{x})$ 在 $x \in [0, 1]$ 时的最小值为 $g (a)$ .求最小值 $g (a)$ 的函数表达式.

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18、已知函数 $f (x) = (\sqrt{3} sin x + cos x) cos x - \frac{1}{2}$ .

(1)、当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 时，且 $f (x_{0}) = \frac{3}{5}$ ，求 $sin 2 x_{0}$ 的值.

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19、已知函数 $f (x) = a x^{2} - 2 x - 3$ ，不等式 $f (x) > 0$ 的解集为 $\{x| x < - 1$ 或 $x > 3\}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，判断 $g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明.

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20、已知 $cos α = - \frac{1}{3}, α \in (π, \frac{3}{2} π)$ .

(1)、求 $sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\frac{sin (\frac{π}{2} - α) \cdot sin (π - α) \cdot tan (π - α)}{cos (π + α)}$ 的值.

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