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相关试卷

1、计算 $\log_{2} (4^{7} \times 2^{5}) =$ .

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2、如图，已知点 $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的中点， $F_{n} (n \in N^{*})$ 为边 $B C$ 上的一列点，连接 $A F_{n}$ 交 $B D$ 于 $G_{n}$ ，点 $G_{n} (n \in N^{*})$ 满足 $\overset{⃑}{G_{n} D} = a_{n + 1} \cdot \overset{⃑}{G_{n} A} - 2 (2 a_{n} + 3) \overset{⃑}{G_{n} E}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列， $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a_{3} = 13$ B、数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 4 n - 3$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

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3、意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 $n$ 项所占的格子的面积之和为 $S_{n}$ ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 $c_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = a_{n + 2} - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ D、 $4 (c_{n} - c_{n - 1}) = π a_{n - 2} \cdot a_{n + 1}$

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4、（多选）函数 $y = A \sin (ω x + φ)$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < π$ )在一个周期内的图像如图所示，则（）

A、该函数的解析式为 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{π}{3})$ B、该函数图象的对称中心为 $(k π - \frac{π}{3}, 0)$ ， $k \in Z$ C、该函数的增区间是 $[3 k π - \frac{5 π}{4}, 3 k π + \frac{π}{4}]$ ， $k \in Z$ D、把函数 $y = 2 \sin (x + \frac{π}{3})$ 的图像上所有点的横坐标伸长为原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象

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5、已知偶函数 $y = f (x)$ 对于任意的 $x \in [0, \frac{π}{2})$ 满足 $f' (x) \cos x + f (x) \sin x > 0$ （其中 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），则下列不等式中成立的是

A、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{3}) < f (\frac{π}{4})$ B、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{3}) < f (- \frac{π}{4})$ C、 $f (0) > \sqrt{2} f (- \frac{π}{4})$ D、 $f (\frac{π}{6}) < \sqrt{3} f (\frac{π}{3})$

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6、函数 $y = (\sin x + \cos x) (\sin x - \cos x)$ 是

A、奇函数且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 B、奇函数且在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递增 C、偶函数且在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调减增 D、偶函数且在 $[\frac{π}{2}, π]$ 上单调递增

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7、函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为

A、 B、 C、 D、

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8、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 19$ ， $a_{n + 1} = a_{n} - 3 (n \in N^{*})$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和最大时，n的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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9、数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号.对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.
(1)对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.对数运算性质的推导有很多方法.请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ， $M > 0$ ，那么 $\log_{a} M^{n} = n \log_{a} M (n \in R)$ ；
(2)请你运用上述对数运算性质计算 $\frac{\lg 3}{\lg 4} (\frac{\lg 8}{\lg 9} + \frac{\lg 16}{\lg 27})$ 的值；
(3)因为 $2^{10} = 1024 \in (10^{3}, 10^{4})$ ，所以 $2^{10}$ 的位数为4(一个自然数数位的个数，叫做位数).请你运用所学过的对数运算的知识，判断 $2019^{2020}$ 的位数.(注 $\lg 2019 \approx 3.305$ )

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10、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 3^{n} (n \in N^{*})$ .
（1）求 $S_{n}$ （用 $n$ 表示）；
（2）求证：当 $n \geq 2$ 时，不等式 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{S_{2}} + \dots + \frac{S_{n}}{a_{n}} < \frac{3 n}{2} - \frac{5}{7}$ 成立.

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11、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知角 $α$ 的终边与以原点为圆心的单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ .
(1)请写出 $\sin α$ ， $\cos α$ ， $\tan α$ 的值；
(2)若角 $β$ 满足 $\cos (α + β) = 0$ .
(ⅰ)计算 $\tan β$ 的值；
(ⅱ)计算 $\frac{\cos^{2} β}{\sin 2 β + \sin^{2} β}$ 的值.

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12、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{1}{S_{n}} (\frac{1}{S_{n}} - 1) = \frac{1}{a_{n + 1}} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{1} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{1}{S_{2019}} =$ .

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13、半径为 $R$ 的圆的一段弧长等于 $2 \sqrt{3} R$ ，则这段弧所对圆心角的弧度数为 .

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14、设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，并且满足条件 $a_{1} > 1$ ， $a_{9} a_{10} > 1, \frac{a_{9} - 1}{a_{10} - 1} < 0$ 则下列结论正确的是（）

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{10} a_{11} > 1$ C、 $S_{n}$ 的最大值为 $S_{10}$ D、 $T_{n}$ 的最大值为 $T_{9}$

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15、下列函数中，最小值为2的是

A、 $y = x^{2} + 2 x + 3$ B、 $y = e^{x} + e^{- x}$ C、 $y = \sin x + \frac{1}{\sin x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ D、 $y = 3^{x} + 2$

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16、若直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条切线，则函数 $f (x)$ 可以是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = e^{x}$

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17、设函数 $f (x)$ 在定义域内可导， $y = f (x)$ 的图象如图所示，则导函数 $y = f^{'} (x)$ 的图象为（）

A、 B、 C、 D、

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18、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的 $n \in N^{*} (n \geq 3)$ ，总存在 $i, j \in N^{*}$ ，使 $a_{n} = a_{i} + a_{j} (i \neq j, i < n, j < n)$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 是“ $F$ 数列”．现有以下数列 $\{a_{n}\}$ ：① $a_{n} = 2 n$ ；② $a_{n} = n^{2}$ ；③ $a_{n} = 3^{n}$ ；④ $a_{n} = {(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})}^{n - 1}$ ；其中是 $F$ 数列的有（）．

A、①③ B、②④ C、②③ D、①④

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19、著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{13}$ 表示这些半音的频率，它们满足 $\log_{2} {(\frac{a_{i + 1}}{a_{i}})}^{12} = 1 (i = 1, 2, \dots, 12)$ .若某一半音与 $D^{#}$ 的频率之比为 $\sqrt[3]{2}$ ，则该半音为（）
频率
$a_{1}$
$a_{2}$
$a_{3}$
$a_{4}$
$a_{5}$
$a_{6}$
$a_{7}$
$a_{8}$
$a_{9}$
$a_{10}$
$a_{11}$
$a_{12}$
$a_{13}$
半音
C
$C^{#}$
D
$D^{#}$
E
F
$F^{#}$
G
$G^{#}$
A
$A^{#}$
B
C（八度）

A、 $F^{#}$ B、G C、 $G^{#}$ D、A

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20、函数 $y = \lg (x^{2} - 2 x - 3)$ 的定义域为

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(- 3, 1)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1) \cup (3, + \infty)$

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