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相关试卷

1、设 $a = {log}_{3} \frac{1}{π}, b = π^{\frac{1}{3}}, c = 3^{- π}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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2、已知命题 $p : lg x < 0$ 和命题 $q : x^{\frac{1}{3}} < 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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3、若集合 $A = {- 1, 0, 2, 4}, B = {x ∣ \sin x \geq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${- 1, 2}$ C、 ${- 1, 0, 2}$ D、 ${- 1, 0, 2, 4}$

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4、已知空间向量 $\vec{a} = (- 3, 2, 5), \vec{b} = (1, x, - 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $x$ 等于.

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5、已知集合 $A = \{1, 2, 3, \dots \dots, 2 n, 2 n + 1\} (n \in N^{*})$ .

(1)、集合 $B \subseteq A$ ，且 $B$ 中的任意三个不同的元素 $x$ ， $y$ ， $z$ 都有 $x + y \neq z$ .
（i）当 $n = 3$ 时，写出一个满足条件的恰有四个元素的集合 $B$ ；
（ii）对于任意给定的 $n (n \in N^{*}, n \geq 2)$ ，求集合 $B$ 中的元素个数的最大值.

(2)、已知集合P={C|C $⊑$ A}， $Q = \{C_{1}, C_{2}, \dots \dots, C_{k}\} \subseteq P$ ，且同时满足以下条件：① $\forall C_{i}$ ， $C_{j} \in Q$ ，都有 $C_{i} \cap C_{j} \neq \emptyset$ （其中 $i$ ， $j \in \{1, 2, \dots, k\}$ ， $i \neq j$ ）；② $\forall D \in ∁_{P} Q$ ， $\exists C_{s} \in Q$ ，使得 $D \cap C_{s} = \emptyset$ （其中 $s \in \{1, 2, \dots, k\}$ ）.求集合 $Q$ 中的元素个数 $k$ .

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A B C_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C_{1} ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ .

(1)、求证： $B C_{1} ⊥ B C$ ；

(2)、若二面角 $A - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ，且 $A B = 2 B C = 2$ ，求 $A C_{1}$ .

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7、如图所示的五面体 $A B C D E F$ 为《九章算术》中记载的羡除，它指的是墓道或隧道.其中 $E F ∥ A D ∥ B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 均为等腰梯形，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ ， $E F = 2$ ， $B C = 3$ ， $A D = 4$ ， $B C$ 和 $A D$ 间的距离为2， $E F$ 和 $A D$ 间的距离为4，则该羡除的体积为.

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8、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 和双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的焦点相同，则 $m =$ .

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9、已知函数 $f (x) = sin 2 x - 2 sin x$ ，则（）

A、 $f (2) + f (4) < 0$ B、当 $0 < x < 6$ 时， $f (x) \leq \frac{5}{2}$ C、当 $3 < x < 4$ 时， $f (x) > f (\frac{x}{3} + 2)$ D、当 $0 < x < 2$ 时， $f (x) < f (\frac{17}{4} - x)$

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10、已知 $A (- a, 0)$ ， $B (a, 0)$ ， $l_{1} : a x - y = 0$ ， $l_{2} : a x + y = 0$ ，其中 $a > 1$ ，点 $P$ 为平面内一点，记点 $P$ 到 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则下列条件中能使点 $P$ 的轨迹为椭圆的是（）

A、 $|P A| + |P B| = 4 a$ B、 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} = 4 a^{2}$ C、 $d_{1} + d_{2} = 4 a$ D、 $d_{1}^{2} + d_{2}^{2} = 4 a^{2}$

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11、观察下列散点图的分布规律和特点，其中两个变量存在相关关系的有（）

A、 B、 C、 D、

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12、飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步（如图所示），设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为 $X$ ，则 $E (X) =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x}, x > 0 \\ x^{3} - 3 x + a, x \leq 0 \end{array}$ 的值域为 $R$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1]$ D、 $(- \infty, 3]$

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14、已知 $\sin (α + β) = \frac{1}{2}$ ， $\sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{\tan α}{\tan β} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、5 C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $- 5$

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15、已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x - 2, f (x) < 0$ 解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $[1, + \infty)$ 上为单调增函数；

(3)、若 $f (x) > 2 x + m$ 在区间 $[- 1, 3]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的范围．

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16、现有 $n$ 张形状相同的卡片，上而分别写有数字 $m + 1, m + 2, \dots, m + n (m \in N, n \in N^{*})$ ，将这 $n$ 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.

(1)、若 $n = 6$ ，求抽到的4个数字互不相同的概率；

(2)、在统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 $E (X^{k})$ 为随机变量 $X$ 的 $k$ 阶矩，其中1阶矩就是 $X$ 的期望 $E (X)$ ，利用 $k$ 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（i）记每次抽到的数字为随机变量 $X$ ，计算随机变量 $X$ 的1阶矩 $E (X)$ 和2阶矩 $E (X^{2})$ ；（参考公式： $1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ ）
（ii）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为 $11, 14, 15, 24$ ，试利用这组样本并结合（i）中的结果来计算 $n$ 的估计值 $\hat{n}$ .（ $\hat{n}$ 的计算结果通过四舍五入取整数）

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17、已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最值；

(2)、求正整数 $a, b$ ，使其满足 $a^{b} - a = b^{a} - b$ 且 $a > b \geq 2$ ；

(3)、若 $0 < b < a \leq 1$ ，求证： ${(\frac{a^{b}}{b^{a}})}^{\frac{1}{a b}} - e^{a - b} > 0$ .

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18、如图，在三棱台 $D E F - A B C$ 中， $G, H$ 分别是 $A C, B C$ 的中点， $B C = 2 E F$ .

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $F G H$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C, A B = B C, A C = A D = B D = 4, ∠ D B G = 60^{\circ}$ ，求平面 $A E F$ 与平面 $G E F$ 所成二面角的正弦值.

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19、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{1}{2}$ ， $C$ 上的点 $P$ 到两焦点 $F_{1} (- c, 0), F_{2} (c, 0) (c > 0)$ 的距离之和等于4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过焦点 $F_{1}$ 作斜率为1的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点.求 $△ A B F_{2}$ 的面积.

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，点 $(n, a_{n})$ 在直线 $2 x - y - 4 = 0$ 上；在等比数列 $\{b_{n}\}$ 中， $b_{2} = a_{3}$ ， $b_{5} = a_{10}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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