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相关试卷

1、直线l： $\sqrt{3}$ x+y﹣3＝0的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，设 $P (x_{0}, y_{0})$ 是第一象限内椭圆 $C$ 上的一点， $P F_{1} ､ P F_{2}$ 的延长线分别交椭圆 $C$ 于点 $A, B$ ，连接 $O P, A B, A F_{2}$ ，若 $△ A P F_{2}$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴，求 $△ P A F_{2}$ 的面积；

(3)、若分别记 $O P, A B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $\frac{1}{k_{2}} - \frac{1}{k_{1}}$ 的最大值.

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3、如图所示，已知四棱锥 $P - A B C D, △ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形，底面 $A B C D$ 是等腰梯形，且 $B C$ $∥$ $A D, A D = 2 D C = 2 C B, ∠ A D C = 60^{\circ}, P C = \sqrt{2} B C, E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E$ $∥$ 平面 $A P B$ ；

(2)、若 $A D = 2$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(3)、求二面角 $B - P C - D$ 的平面角的余弦值.

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知圆 $C$ 与 $y$ 轴相切，且过点 $M (1, \sqrt{3}), N (1, - \sqrt{3})$

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $A (- 2, 0)$ 作直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $M, N$ 两点，若 $\frac{1}{| A M |^{2}} + \frac{1}{| A N |^{2}} = \frac{17}{90}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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5、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b sin B - c sin C = (b - a) sin A$

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $D$ 是线段 $A B$ 上一点，且 $A D = 2 B D, C D = 2$ ，求 $S_{△ A B C}$ 的最大值.

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6、杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题：

(1)、若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：

(2)、已知落在 $[60, 70)$ 成绩的平均值为66，方差是7；落在 $[70, 80)$ 成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ；

(3)、若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙复赛获优秀等级的概率为 $\frac{4}{5}$ ，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.

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7、已知正三棱锥 $A - B C D$ 的外接球为球 $O, A B = 6, B C = 3 \sqrt{3}, P$ 是球 $O$ 上任意一点， $E$ 为 $B D$ 的中点，则 $P E$ 的取值范围为.

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8、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 8)$ 的左､右焦点到直线 $l : x - y - 4 = 0$ 的距离之和为 $4 \sqrt{2}$ ，则 $E$ 离心率取值范围是.

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9、已知某圆台上下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积是.

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10、已知曲线 $C$ 的方程 $x^{2} + y^{2} + a |x| y = 1$ ，则以下结论正确的是（）

A、无论实数 $a$ 取何值，曲线 $C$ 都关于 $y$ 轴成轴对称 B、无论实数 $a$ 取何值，曲线 $C$ 都是封闭图形 C、当 $a = - 1$ 时，曲线 $C$ 恰好经过 $6$ 个整点（即横､纵坐标均为整数的点） D、当 $a = - 1$ 时，曲线 $C$ 所围成的区域的面积小于 $3$

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11、如图，已知正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}, E, F$ 分别是上底面 $A^{'} C^{'}$ 和侧面 $C D^{'}$ 的中心，判断下列结论正确的是（）

A、存在 $x$ 使得 $\vec{A C^{'}} = x (\vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C C^{'}})$ B、任意 $x, y$ ，使得 $\vec{A E} = \vec{A A^{'}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ C、存在 $x, y$ ，使得 $\vec{A F}, \vec{A D}, x \vec{A C^{'}} + y \vec{A C}$ 共面 D、任意 $x, y$ ，使得 $\vec{A F}, \vec{A D}, x \vec{A B^{'}} + y \vec{A C^{'}}$ 共面

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12、已知直线 $l : (a + 1) x + (1 - a) y - 2 = 0$ 与动圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 b x + 4 b y + 5 b^{2} - 9 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、直线 $l$ 过定点 $(1, 2)$ B、当 $a = 1$ 时，若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，则 $b = 4$ C、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相交截得弦长为定值 $d$ ，则 $d = \frac{4 \sqrt{55}}{5}$ D、当 $b = 0$ 时，直线 $l$ 截圆 $C$ 的最短弦长为 $\sqrt{7}$

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13、设 $A, B$ 是一个随机试验中的两个事件，记 $\bar{A}, \bar{B}$ 为事件 $A, B$ 的对立事件，且 $P (A) = \frac{2}{5}, P (B) = \frac{1}{3}, P (A \bar{B}) = \frac{2}{15}$ ，则 $P (\bar{A} + B) =$ （）

A、 $\frac{11}{15}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{14}{15}$ D、 $\frac{13}{15}$

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14、已知直线 $l$ 经过点 $A (2, 3, 1)$ ，且 $\vec{n} = (1, 2, 1)$ 是 $l$ 的方向向量，则点 $P (4, 3, 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、 $\sqrt{14}$

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15、“ $k = \sqrt{3}$ ”是“直线 $y = k x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、3

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17、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ D、 $1 - i$

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18、有一组数据，按从小到大排列为： $1, 2, 6, 7, 10, m$ ，这组数据的 $40 %$ 分位数等于他们的平均数，则 $m$ 为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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19、直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $- \sqrt{3}$

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20、定义符号函数为 $y = sgn (x) = \{\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ ，已知 $f (x) = - 2 x + 8 - 4 a, g (x) = x^{2} - 2 a x$ ，令 $h (x) = \frac{sgn (x - 1) - sgn (x - 2)}{2} \cdot f (x) + \frac{sgn (x - 2) - sgn (x - 3)}{2} \cdot g (x)$ ， $x \in (1, 3)$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $y = h (x)$ 与 $y = k$ 的图象有且仅有一个交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $\forall x_{1} \in (2, 3)$ ， $\exists x_{2} \in (1, 2)$ ，使得 $h (x_{2}) = h (x_{1})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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