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相关试卷

1、已知 $P (1, 2), Q (0, 3)$ ，若直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 交于 $A, B$ 两点，且 $P A ⊥ P B, P D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，则 $|D Q|$ 的最大值为.

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2、在 ${(3 + \frac{1}{x})}^{9}$ 的展开式中， $x^{- 7}$ 的系数为．（用数字作答）

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3、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，函数 $f (x + 1)$ 是奇函数，且满足 $f (x + 1) = f (3 - x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (3) = 0$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称 C、 $f (x + 1) - f (x - 1) = 0$ D、若函数 $g (x)$ 满足 $g (x) + f (x + 3) = 2$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} g (i) = 4048$

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4、半正多面体亦称“阿基米德体”或者称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成，如图所示．已知 $M N = \sqrt{3}$ ，若在该半正多面体内放一个球，则该球体积的最大值为（）

A、 $\frac{9 \sqrt{2} π}{8}$ B、 $\frac{9 \sqrt{2} π}{4}$ C、 $\frac{16 \sqrt{2} π}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$

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5、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆C： $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{18} = 1$ 的两个焦点，点P是C上的一点，且 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、9 D、 $9 \sqrt{2}$

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6、已知直线 $l_{1} : x + m y + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + (1 - 2 m) y - 3 = 0$ ，则“ $m \in {1, - 2}$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、如图所示，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B D} = 6 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} =$ （）

A、 $\frac{1}{7} \vec{A B} + \frac{6}{7} \vec{A C}$ B、 $\frac{6}{7} \vec{A B} + \frac{1}{7} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{5}{6} \vec{A C}$ D、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$

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8、设复数 $z = \frac{1 + i^{5}}{2 + i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知点O为 $△ A B C$ 的外心，且向量 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A C}$ ， $λ \in R$ ，若向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{5} \vec{B C}$ ，则 $\cos B$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 m x - 4$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上是单调函数

(1)、求实数 $m$ 的所有取值组成的集合 $A$ ；

(2)、试写出 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上的最大值 $g (m)$ ；

(3)、根据（2）的结论，设 $h (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3$ ，令 $F (m) = \{\begin{matrix} g (m), m \in A \\ h (m), m \in ∁_{R} A \end{matrix}$ ，若对任意 $m \in [- \frac{7}{2}, a]$ ，都有 $F (m) \leq a + 5$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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11、求下列代数式的最值：

(1)、已知 $x > 1$ ，求 $y = x + \frac{4}{x - 1}$ 的最小值；

(2)、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且满足 $\frac{8}{x} + \frac{1}{y} = 1$ .求 $x + 2 y$ 的最小值；

(3)、当 $0 < x < \frac{1}{4}$ 时，不等式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{1 - 4 x} - m \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值.

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12、FISS足球世界杯是很受全球高中生欢迎的足球赛事，中国成功获得国际中体联足球世界杯2024，2026，2028年主办权，经过大连市的积极申办，教育部正式推荐，大连最终成为2024年国际中体联足球世界杯承办地．筹备期间组委会委托A工厂生产某种纪念品，生产该纪念品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为 $P (x)$ 万元，在年产量不足9万件时， $P (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ （万元），在年产量不小于9万件时， $P (x) = 11 x + \frac{100}{x} - 53$ （万元），每件纪念品售价为10元，通过市场分析，此纪念品当年能全部售完．

(1)、写出年利润 $L (x)$ （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

(2)、年产量为多少万件时，该工厂在这一纪念品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

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13、已知集合 $A = \{x |- 2 < x < 8\}$ ， $B = \{x |m - 3 < x < 3 m - 1\}$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数m的取值范围．

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14、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、证明： $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上的单调性，并求 $f (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上的值域．

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15、函数 $f (x) = \frac{2 x + x^{3}}{x^{2} + 1} + 1 + a$ 在 $[- 2024, 2024]$ 上的最大值与最小值的和为2024，则 $a =$ .

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16、若函数 $f (x) = a x^{2} + 1$ 是定义在 $[- 1 - a, 2 a]$ 上的偶函数，则 $f (a) =$ ．

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17、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- 2 < x < 3\}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $a x + c > 0$ 的解集为 $\{x |x < 6\}$ C、 $a + b + c < 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\}$

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18、中国古代重要的数学著作 $《$ 孙子算经 $》$ 下卷有题：今有物，不知其数 $.$ 三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二 $.$ 问：物几何？现有如下表示：已知 $A = \{x |x = 3 n + 2, n \in N^{*}\}$ ， $B = \{x |x = 5 n + 3, n \in N^{*}\}$ ， $C = \{x |x = 7 n + 2, n \in N^{*}\}$ ，若 $x \in A \cap B \cap C$ ，则下列选项中符合题意的整数 $x$ 为

A、 $8$ B、 $127$ C、 $37$ D、 $23$

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19、若 $a, b, c \in R$ ，则“ $a c = b c$ ”是“ $a = b$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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20、已知 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 5, (x \geq 6) \\ f (x + 2), (x < 6) \end{array}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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