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相关试卷

1、已知 $a, b, c \in (- 1, 0)$ ，且满足 $a = ln \frac{a + 1}{3} + 2, b = ln \frac{e^{3} (b + 1)}{4}, c = e^{c + ln 2 - 1} - 1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + a \cos ω x (ω > 0, a > 0)$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的最大值为4，若 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个极值点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$ B、 $(\frac{4}{3} ， \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{7}{6}, \frac{13}{6})$ D、 $[\frac{7}{6}, \frac{13}{6}]$

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3、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = x \sin (\frac{π}{2} - x)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f^{'} (x)$ 为奇函数 B、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 C、 $f^{'} (0) = 0$ D、 $f (π) + f^{'} (π) = - π$

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4、已知 $α, β$ 均为锐角，且 $sin α = 2 sin β, cos α = \frac{1}{2} cos β$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5、已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1,2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3, 4)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{11}$ D、 $- 1$

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6、若复数z满足 $(z - 1) \cdot i = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $i$ D、 $- i$

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7、设集合 $A = \{x |(2 x + 1) (x - 3) < 0\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 4}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${0, 2, 4}$

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $O : x^{2} + y^{2} = 64$ ，以 $O_{1} (9, 0)$ 为圆心的圆记为圆 $O_{1}$ ，已知圆 $O_{1}$ 上的点与圆 $O$ 上的点之间距离的最大值为21.

(1)、求圆 $O_{1}$ 的标准方程；

(2)、求过点 $M (5, 5)$ 且与圆 $O_{1}$ 相切的直线的方程；

(3)、已知直线 $l$ 与 $x$ 轴不垂直，且与圆 $O$ ，圆 $O_{1}$ 都相交，记直线 $l$ 被圆 $O$ ，圆 $O_{1}$ 截得的弦长分别为 $d$ ， $d_{1}$ .若 $\frac{d}{d_{1}} = 2$ ，求证：直线 $l$ 过定点.

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9、下列结论不正确的有（）

A、直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距为1 B、如果 $A B < 0, B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过第三象限 C、直线 $k x - y - 2 k + 1 = 0$ 恒过定点 $(2, 1)$ D、方程 $y - 4 = k (x - 3)$ 可以表示平面内所有过点 $(3, 4)$ 的直线

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10、函数 $f (x)$ 的部分图像如图，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{| x - 1 |}$ B、 $f (x) = \frac{1}{| | x | - 1 |}$ C、 $f (x) = \frac{1}{| x + 1 |}$ D、 $f (x) = \frac{1}{| x | + 1}$

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11、已知 $a > 0, b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则对于 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ （）

A、取得最值时a＝ $\frac{2}{3}$ B、最大值是5 C、取得最值时b＝ $\frac{2}{3}$ D、最小值是 $\frac{9}{2}$

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12、若集合 $A = \{x |6 - 2 x < x\}, B = \{- 1, 1, 3, 5\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{3, 5\}$ D、 $\{- 1, 1, 3, 5\}$

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13、已知空间向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 两两的夹角均为 $60^{\circ}$ ，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{c}| = 4$ .若向量 $\vec{x}$ ， $\vec{y}$ 满足 $\vec{x} \cdot (\vec{x} + \vec{a}) = \vec{x} \cdot \vec{b}$ ， $\vec{y} \cdot (\vec{y} + \vec{a}) = \vec{y} \cdot \vec{c}$ ，则 $|\vec{x} - \vec{y}|$ 的最大值是（）

A、 $1 + 2 \sqrt{3}$ B、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

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14、已知点 $P (0, - 1)$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的点 $Q$ 在圆 $C : x^{2} + y^{2} + m x + 5 = 0$ 上，则 $m =$ （）

A、4 B、5 C、-4 D、-5

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15、已知空间向量 $\vec{a} = (1, n, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, 1, 2)$ ，若 $3 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则 $|\vec{a}|$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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16、已知 $△ A B C$ 的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且 $b \cos A = 2 c \cos C - a \cos B$ ．

(1)、求角C的大小：

(2)、若 $c = 2, b^{2} + c^{2} = a^{2} + 4 a c \cos A$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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17、如图，是一个半径为2千米，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形游览区的平面示意图．点C是半径OB上一点，点D是圆弧AB上一点，且 $C D ∥ O A$ ，现在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧DB处每千米均为a元．设 $∠ A O D = x$ 弧度，广告位出租的总收入为y元．

(1)、求y关于x的函数解析式 $y = f (x)$ ，并写出该函数的定义域；

(2)、试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值．

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18、已知函数 $f (x) = \cos^{4} x - 2 \sin x \cos x - \sin^{4} x$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）若 $f (x_{0}) = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ， $x_{0} \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值．

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19、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, 4)$ ， $\vec{c} = (4, - x)$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线.

(1)、证明： $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c} - \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、若 $| \vec{a} + t \vec{c} | = \sqrt{10}$ ，求 $t$ 的值.

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20、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，且 $α$ 是第二象限角.
(1)求 $\sin 2 α$ 的值；
(2)求 $\cos (α + \frac{π}{4})$ 的值.

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