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相关试卷

1、如图， $P$ 为圆锥的顶点， $A B$ 是底面圆 $O$ 的一条直径， $M$ ， $N$ 是底面圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 的三等分点， $E$ ， $F$ 分别为 $P M$ ， $P O$ 的中点．

(1)、证明：点 $B$ 在平面 $E F N$ 内．

(2)、若 $A B = P O = 4$ ，求平面 $P A M$ 与平面 $P A B$ 夹角的余弦值．

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2、已知函数 $f (x) = a \ln x - x + a$ ， $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程．

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 0, \\ \frac{2 \ln x}{x}, x > 0, \end{array}$ $g (x) = x^{2} + 2 x - 4 λ$ ， $λ \in R$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (g (x)) = λ$ 有6个解，则 $λ$ 的取值范围为．

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .若 $S_{5} = 25$ ， $S_{15} = 60$ ，则 $a_{4} + a_{7} =$ .

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5、已知 $cos (\frac{π}{4} + x) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (\frac{5 π}{4} - x) =$ .

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6、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，直线 $l$ ： $y = - \frac{\sqrt{15}}{3} x + \frac{\sqrt{15}}{3} c$ 与双曲线 $C$ 的右支相交于A， $B$ 两点（点A在第一象限），若 $|A F_{1}| = |A B|$ ，则（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $|B F_{1}| = 8$ C、 $|A B| = \frac{34}{7}$ D、 $b = \sqrt{2}$

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7、新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为： $y = k x + t (k, t \in R)$ ，其中x为原始分，y为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（）

A、若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分 B、若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数 C、该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同 D、该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分

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8、已知P为棱长为 $\sqrt{6}$ 的正四面体 $A - B C D$ 各面所围成的区域内部（不在表面上）一动点，记P到面 $A B C$ ，面 $A C D$ ，面 $B C D$ ，面 $A B D$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ， $h_{4}$ ，若 $h_{3} + h_{4} = 1$ ，则 $\frac{1}{2 h_{1}} + \frac{8}{h_{2}}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{9 + 4 \sqrt{2}}{2}$ D、 $12 + 4 \sqrt{2}$

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9、某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为20mm，卫生纸厚度约为0.1mm，若未使用时直径为80mm，则这个卷筒卫生纸总长度大约为（）（参考数据 $π \approx 3.14$ ）

A、47m B、51m C、94m D、102m

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10、已知函数 $g (x) = e^{x} - \frac{a}{2} x^{2}$ 有两个不同极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, e)$ B、 $(0, \frac{1}{e})$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = 2 cos (3 x + \frac{π}{6})$ 在 $[0, \frac{a}{3}]$ 上单调递减，则实数 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{5π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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12、若直线 $l : x + \sqrt{3} y = 0$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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13、设复数 $z = a + i$ （ $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位），若 $(1 + i) \cdot z$ 为纯虚数，则复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、1 C、2 D、 $- i$

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14、平面内有一点 $F_{2} (1, 0)$ 和直线 $l : x = 2$ ，动点 $P (x, y)$ 满足： $P$ 到点 $F_{2}$ 的距离与 $P$ 到直线 $l$ 的距离的比值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .点 $P$ 的运动轨迹是曲线 $E$ ，曲线 $E$ 上有 $A ､ B ､ C ､ D$ 四个动点.

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、若 $A$ 在 $x$ 轴上方， $2 \vec{F_{2} A} + \vec{F_{2} B} = \vec{0}$ ，求直线 $A B$ 的斜率；

(3)、若 $C ､ D$ 都在 $x$ 轴上方， $F_{1} (- 1, 0)$ ，直线 $C F_{2} // D F_{1}$ ，求四边形 $C F_{2} F_{1} D$ 的面积的最大值.

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15、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面是正方形， $A B = 2, P A = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $P D = 2, M$ 是 $P A$ 中点，证明： $D M ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P D = 1$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = - 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 为等比数列，并求出数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 10$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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17、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{11} = 33$ ，则 $3 a_{5} - a_{1} - a_{8} =$ .

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18、已知复数 $z = (1 - 2 i) (1 + i)$ ，则 $|z| =$ .

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19、某地区5家超市销售额 $y$ （单位：万元）与广告支出 $x$ （单位：万元）有如下一组数据：
超市
A
B
C
D
E
广告支出（万元）
1
4
6
10
14
销售额（万元）
6
20
36
40
48
下列说法正确的是（）
参考公式：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

A、根据表中数据计算得到 $x$ 与 $y$ 之间的经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 8.3$ ，则 $\hat{b} = 3.1$ B、 $x$ 与 $y$ 之间的样本相关系数 $r = 3.1$ C、若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好 D、若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元

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20、若随机变量 $X \sim N (12, 9)$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $P (X > 12) = 0.5$ B、 $P (X \leq 9) = P (X \geq 15)$ C、 $E (3 X - 1) = 35$ D、 $D (2 X - 1) = 12$

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超市	A	B	C	D	E
广告支出（万元）	1	4	6	10	14
销售额（万元）	6	20	36	40	48