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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 为定义在R上的奇函数，当 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 时，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (- 3) = 0$ ，则满足 $x f (x) \leq 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 3, 0) \cup (0, 3]$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup [3, + \infty)$ D、 $[- 3, 3]$

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2、若 $α \in [0, π]$ ，则“ $α = \frac{π}{9}$ ”是“ $sin 2 α = cos (α + \frac{π}{6})$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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3、幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m}$ ， $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in (0, + \infty)$ 都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 成立，则下列说法正确的是（）

A、 $m = 4$ B、 $m = 4$ 或 $m = - 1$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 是偶函数

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4、函数 $f (x) = \ln (9^{x} + 3^{x} - a)$ .

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 为定义域为 $R$ 的奇函数，且 $x > 0$ 时， $g (x) = e^{f (x)} - 9^{x}$ ，
①求 $g (x)$ 的解析式
②若关于x的方程 $\frac{g (x^{2} - 2 t x + 3)}{g (x)} = |g (x)|$ 恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.

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5、如图1，设半圆的半径为2，点 $B$ 、 $C$ 三等分半圆，点 $M$ 、 $N$ 分别是 $O B$ 、 $O C$ 的中点，将此半圆以 $O A$ 为母线卷成一个圆锥（如图2）．在图2中完成下列各题：

(1)、求在圆锥中的线段 $M N$ 的长；

(2)、求四面体 $A C M N$ 的体积；

(3)、求三棱锥 $M - A B C$ 与三棱锥 $N - A B C$ 公共部分的体积．

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6、已知等式 $x y - 2 y - 2 = 0$

(1)、若x、y均为正整数，求x、y的值；

(2)、设 $p = \frac{4}{(x_{1} - 2) + (x_{2} - 2)}$ ， $q = \frac{y_{1} + y_{2}}{2}$ ， $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 分别是等式 $x y - 2 y - 2 = 0$ 中的x取 $x_{1}, x_{2}$ （ $x_{2} > x_{1} > 2$ ）时y所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由.

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7、已知在平面直角坐标系 $x O y$ ，向量 $\vec{a} = (2, - 1)$ .

(1)、求与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量 $\vec{e}$ 的坐标；

(2)、若向量 $\vec{b} = (3, 2)$ ，且 $t \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 的夹角为钝角，求实数 $t$ 的取值范围.

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8、“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分.现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组，第一组： $[20, 25)$ ，第二组： $[25, 30)$ ，第三组： $[30, 35)$ ，第四组： $[35, 40)$ ，第五组： $[40, 45]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.

(1)、求x；

(2)、求抽取的x人的年龄的第80百分位数（保留小数）.

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9、已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，该正四棱台的体积为 $\frac{28 \sqrt{6}}{3}$ 时，侧棱与底面所成的角为.

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10、已知一组数据1，2，4，5，m的平均数为4，则这组数据的方差为.

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11、已知 $f (x) = 2 \sin (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ），若方程 $f (x) = 1$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上恰有3个实根，则 $ω$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12、如图，一块三角形铁片ABC，已知 $A B = 4$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ B A C = \frac{5 π}{6}$ ，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D， $A D = 1$ ， $∠ B A D = \frac{π}{6}$ .如果过点D作一条直线分别交AB，AC于点E，F，并沿直线EF裁掉 $△ A E F$ ，则剩下的四边形EFCB面积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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13、坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若 $A B = 25 m$ ， $B C = A D = 10 m$ ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为 $\frac{\sqrt{14}}{5}$ ，则该五面体的所有棱长之和为（）

A、117m B、120m C、127m D、135m

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14、已知 $0 < x_{1} < x_{2} < 2 π, sin x_{1} = sin x_{2} = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (x_{1} - x_{2}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{3}$

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15、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2， $\vec{A B} \cdot \vec{A D} = - 2$ ， G是菱形ABCD内一点，若 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A G} \cdot \vec{A B} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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16、在以下调查中，适合用普查的是（）

A、调查一批小包装饼干的卫生是否达标 B、调查一批袋装牛奶的质量 C、调查一批绳索的抗拉强度是否达到要求 D、调查一个班级的学生每天完成家庭作业所需要的时间

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17、已知复数 $z = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，若 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $\sqrt{10}$ D、10

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其长轴长为6，离心率为e且 $e > \frac{1}{3}$ ，点D为E上一动点， $△ D F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $2 \sqrt{2}$ ，过 $P (- 3, 0)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与椭圆E交于A，B两点（异于点P），与直线 $x = 8$ 交于M，N两点，且M，N两点的纵坐标之和为11.过坐标原点O作直线 $A B$ 的垂线，垂足为H.

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、问：平面内是否存在定点Q，使得 $|H Q|$ 为定值？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由.

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19、已知函数 $f (x) = \cos x + \frac{1}{2} x^{2} - 2$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \sin x - e^{b x}$ ．
（1）求函数 $f (x)$ 的最小值；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq g (x)$ 在 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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20、已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，满足 $a_{n} = 2^{n - 2}$ ， $b_{2 k - 1} = a_{k} (k \in N^{*})$ ， $b_{2 k - 1}$ ， $b_{2 k}$ ， $b_{2 k + 1}$ 成等差数列．
（1）证明： ${b_{2 k}}$ 是等比数列；
（2）数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{n + 2}{8 n (n + 1) (b_{2 n} - b_{2 n - 1})}$ ，记数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ ．

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