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相关试卷

1、已知 $a = 2^{- 1.3}, b = \ln 3, c = \frac{1}{2} \log_{3} 4$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < c < a$ D、 $b < a < c$

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2、数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $S_{6}$ 等于（）

A、120 B、122 C、124 D、126

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3、设某质点的位移xm与时间ts的关系是 $x = 1 - t + t^{2}$ ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（）

A、2m/s B、3m/s C、4m/s D、5m/s

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4、设集合 $U = \{x \in Z | x^{2} \leq 4\}$ ， $A = \{0, 2\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[- 2, 0]$ B、 $\{1\}$ C、 $\{- 2, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 1\}$

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5、定义运算 $a \oplus b = \{\begin{array}{l} a (a \geq b) \\ b (a < b) \end{array}$ ，设函数 $f (x) = (x + 1) \oplus {(x + 1)}^{2}$ ，则下列命题正确的有（）

A、 $f (x)$ 的定义域为 $R$ B、 $f (x)$ 的值域为 $R$ C、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(- \infty, - 1]$ D、不等式 $f (x) > 1$ 的解集为 $\{x| x < - 2$ 或 $x > 0\}$

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6、阅读材料：数轴上，方程 $A x + B = 0 (A \neq 0)$ 可以表示数轴上的点，平面直角坐标系 $x O y$ 中，方程 $A x + B y + C = 0$ （ $A$ 、 $B$ 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，方程 $A x + B y + C z + D = 0$ （ $A$ 、 $B$ 、 $C$ 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程可表示为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ .阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $3 x - 5 y + z - 7 = 0$ ，直线 $l$ 是两平面 $x - 3 y - 7 = 0$ 与 $4 y + 2 z + 1 = 0$ 的交线，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{35}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{15}$ D、 $\frac{\sqrt{14}}{35}$

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7、已知 $a b < 0, b c < 0$ ，则直线 $a x + b y = c$ 经过（）

A、第一、二、三象限 B、第一、三、四象限 C、第一、二、四象限 D、第二、三、四象限

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8、已知圆 $M$ 经过 $P (1, 1)$ ， $Q (- 7, - 5)$ 两点，且圆心 $M$ 在直线 $l : x - 2 y - 1 = 0$ ，则圆 $M$ 的标准方程是（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$ B、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 13$ C、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$

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9、函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在正实数 $k$ ，对任意的 $x \in D$ ，总有 $|f (x) - f (- x)| \leq k$ ，则称函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、判断下列函数是否具有性质 $P (1)$ ，并说明理由.
① $f (x) = 2024$ ；② $g (x) = x$ ；

(2)、已知 $f (x)$ 为二次函数，若存在正实数 $k$ ，使得函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ .用反证法证明： $f (x)$ 是偶函数；

(3)、已知 $a > 0$ ， $k$ 为给定的正实数，若函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + a) - x$ 具有性质 $P (k)$ ，求 $a$ 的取值范围.（用 $k$ 表示）

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}$ ， $g (x)$ 满足 $g (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{f (x)} (a > 0)$ ．

(1)、求函数 $y = \frac{1 - x}{1 + x}$ 图象的对称中心；

(2)、当 $a = \sqrt{2}$ 时，求 $g (x)$ 的最小值；

(3)、若对任意实数 $r, s, t \in [- \frac{3}{5}, \frac{3}{5}]$ ， $|g (r) - g (s)| < g (t)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{1 + 2^{x}} - \frac{1}{2}$ ．

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若对任意的 $x \in R$ ，都有不等式 $f (x^{2} + m) + f (2 x^{2} - x + 2 m) < 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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12、已知全集 $U = R$ ，不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集是 $A = {x | x < - \frac{1}{3} 或 x > 1}$ ， $B = {x | x \leq 0 或 x > \frac{1}{2}}$ ， $C = {x | (x - 2 m) (x - m^{2} - 1) < 0, m \neq 1}$ .

(1)、计算 $(∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、若不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 $D$ ，且“ $x \in D$ ”是“ $x \in C$ ”的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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13、（1） $8^{\frac{2}{3}} - \sqrt[4]{16} + \sqrt{{(1 - \sqrt{2})}^{2}} - {(π - 1)}^{0}$ ；
（2）求 ${log}_{2} \sqrt[3]{2} + (\lg 5 + 2 lg 2) lg 5 + {(lg 2)}^{2} - 4^{{log}_{4} 3}$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - 1, x < 1 \\ \frac{a}{x}, x \geq 1 \end{array}$ ，满足对任意的实数 $x_{1}, x_{2}$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > - 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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15、幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 5) x^{- m}$ 在 $x \in (0, + \infty)$ 上单调递减，则m的值为．

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} |{(\frac{1}{2})}^{x} - 1|, x \leq 1 \\ |{log}_{4} (x - 1)|, x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $y = f (x) - k$ 有四个零点，从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $k \in (0, \frac{1}{2}]$ B、 $x_{3} + x_{4}$ 的最小值为4 C、 $x_{1} + x_{2} > 0$ D、方程 $f [f (x)] - t = 0$ 最多有10个不同的实根

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17、下列说法正确的有（）

A、当 $0 < x < 10$ 时， $\sqrt{x (10 - x)}$ 的最大值是5 B、当 $x > - 1$ 时， $x + \frac{1}{x + 1} \geq 1$ C、已知正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值是2 D、 $\sqrt{x^{2} + 3} + \frac{2}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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18、下列函数中，既是偶函数，又在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = 2^{| x |}$ D、 $f (x) = | x | + \frac{1}{| x |}$

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19、已知函数 $f (x) = \frac{a x + 1 + | 2 x^{2} + a x - 1 |}{2} (a \in R)$ 的最小值为0，则 $a =$ （）

A、 $\pm \frac{1}{4}$ B、 $\pm \frac{1}{2}$ C、 $\pm 1$ D、 $\pm 2$

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20、中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用 $80 ℃$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60 ℃$ 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是 $T_{0}$ ，经过 $t min$ 后的温度是 $T$ ，则 $T - T_{α} = (T_{0} - T_{α}) e^{- \frac{t}{h}} (e \approx 2.71828 \dots)$ ，其中 $T_{α}$ 表示环境温度， $h$ 表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚泡好的绿茶水温度是 $80 ℃$ ，放在 $20 ℃$ 的室温中， $10 min$ 以后茶水的温度是 $50 ℃$ ，在上述条件下，大约需要放置多长时间能达到最佳饮用口感？（结果精确到0.1，参考数据 $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）（）

A、 $5.7 min$ B、 $5.8 min$ C、 $5.9 min$ D、 $6.0 min$

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