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1、已知平面向量 $\vec{a} = (sin θ, 1), \vec{b} = (cos θ, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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2、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ， $B (1, \frac{3}{2})$ 为椭圆上一点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $l ($ 不经过 $B$ 点 $)$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且直线 $B P$ 和直线 $B Q$ 的斜率之和为 $0.$
①证明：直线 $l$ 的斜率为定值，并求出这个定值；
②若 $tan ∠ P B Q = \frac{12}{5} ，$ 求 $△ P B Q$ 的面积.

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3、曲线 $E_{1}$ 的方程 $F (x, y) = 0$ 中，用 $λ x$ 替换 $x$ ， $u y$ 替换 $y (λ, μ \in R^{+})$ 得到曲线 $E_{2}$ 的方程 $F (λ x, μ y) = 0$ ，把这种 $(x, y) \to (λ x, μ y)$ 的变换称为“伸缩变换”， $λ$ ， $μ$ 分别称为 $x$ 轴和 $y$ 轴的伸缩比.

(1)、若曲线 $E_{1}$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，伸缩比 $λ = \frac{1}{2}, μ = 1$ ，求 $E_{1}$ 经过“伸缩变换”后所得到曲线 $E_{2}$ 的标准方程；

(2)、若曲线 $E_{1}$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，经过“伸缩变换”后所得到曲线 $E_{2}$ 是离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的椭圆，求 $\frac{λ}{μ}$ 的值；

(3)、对抛物线 $E_{1} : y^{2} = 2 p_{1} x$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{1} x, μ_{1} y)$ ，得抛物线 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ ；对抛物线 $E_{2} : y^{2} = 2 p_{2} x$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{2} x, μ_{2} y)$ ，得抛物线 $E_{3} : y^{2} = 2 p_{3} x$ ，如此进行下去，对抛物线 $E_{n} : y^{2} = 2 p_{n} x$ 作变换 $(x, y) \to (λ_{n} x, μ_{n} y)$ ，得抛物线 $E_{n + 1} : y^{2} = 2 p_{n + 1} x$ ，若 $p_{1} = 1, λ_{n} = n^{2}, μ_{n} = n + 1$ ，记数列 $\{p_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{3}{5}$ .

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4、如图，在底面为正方形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A = A D$ ， $P A ⊥$ 面 $A B C D$ ， $M$ ， $Q$ 分别为 $P D$ 和 $B C$ 的中点， $P N = \frac{2}{3} P C .$

(1)、求证： $A$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ 四点共面；

(2)、求二面角 $M - A N - D$ 的余弦值.

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5、在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知公差 $d > 0$ ， $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3} + 3$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = n \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} .$

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $∠ C A B = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 为侧棱 $B B_{1}$ 上的动点.

(1)、求证：平面 $A M P ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；

(2)、试判断是否存在 $P$ ，使得直线 $B C_{1} ⊥ A P$ .若存在，求 $P B$ 的长；若不存在，请说明理由.

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7、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 16 ， a_{n + 1}^{2} = 2 a_{n} a_{n + 2} (n \in N^{*}) ，$ 若 $a_{m}$ 为最大项，则 $m =$ .

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8、抛物线 $x^{2} = 4 y$ 上一动点 $P$ 到直线 $y = x - 3$ 的最短距离为 .

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9、曲线 $E : | x - 1 | + | x + 1 | + 2 | y | = 4$ ，则下列结论中正确的是（）

A、曲线E关于直线 $y = x$ 对称 B、曲线E围成的图形面积为6 C、曲线E上存在无数个点到直线 $y = x$ 的距离为1 D、若圆 $(x - m)^{2} + (y - m)^{2} = 2 m^{2}$ 在曲线E的内部 $($ 含边界 $)$ ，则 $| m |_{m a x} = \sqrt{2} - 1$

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10、已知棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q$ ， $R$ 满足 $\vec{B Q} = λ \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{A_{1} R} = μ \vec{A_{1} C}$ ，其中 $λ \in [0, 1]$ ， $μ \in [0, 1]$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $λ = μ = \frac{1}{2}$ 时， $|Q R| = 1$ B、当 $μ = \frac{1}{3}$ 时， $D_{1} R / /$ 平面 $B D C_{1}$ C、 $\forall μ \in [0, 1]$ ， $\exists λ \in [0, 1]$ ，有 $A Q ⊥ D_{1} R$ D、 $\forall λ \in [0, 1]$ ， $\exists μ \in [0, 1]$ ，有 $D_{1} R ⊥ C Q$

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1 ， a_{1} = 2 ，$ 则（）

A、 $a_{3} = 11$ B、 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - 1$ D、 $\{a_{n + 1} - a_{n}\}$ 是等比数列

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12、已知F是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，P为圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 上一点，直线PF的倾斜角为 $30^{\circ}$ ，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比q大于0，前n项和为 $S_{n}$ ，则“数列 $\{a_{n}\}$ 为单调递增数列”是“数列 $\{S_{n}\}$ 为单调递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 42 ， a_{2} + a_{4} + a_{6} = 48 ，$ 则 $S_{9} =$ （）

A、126 B、144 C、162 D、180

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15、已知直线 $l : y = k x + 1$ ，圆 $C : (x - 1)^{2} + y^{2} = 4 ，$ 则直线 $l$ 与圆 $C$ 位置关系为（）

A、相离 B、相交 C、相切 D、不确定

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16、下列选项正确的是（）

A、 $(sin 10^{\circ})^{'} = cos 10^{\circ}$ B、 $(lg x)^{'} = \frac{1}{x}$ C、 $[(2 x + 1) (2 x - 1)]^{'} = 8 x$ D、 $(e^{- x})^{'} = e^{- x}$

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17、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点 $P$ 到焦点 $F$ 的距离是 $4$ ，则点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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18、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c},$ 则 $\vec{B D_{1}} =$ （）

A、 $- \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ D、 $- \vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，E是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $B_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B D$ B、 $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ C、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的外接球的表面积为 $\frac{41 π}{16}$

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20、折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：如图，用圆形纸片，按如下步骤折纸．
步骤1：设圆心是 $F$ ，在圆内不是圆心处取一点，标记为 $E$ ；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点 $E$ ，此时圆周上与点 $E$ 重合的点标记为 $G$ ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时 $G F$ 与折痕交于点 $P$ ；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条折痕和越来越多的交点 $P$ ．
现取半径为4的圆形纸片，定点 $E$ 到圆心 $F$ 的距离为2，按上述方法折纸．以线段 $E F$ 的中点 $O$ 为原点，线段 $E F$ 所在直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，记动点 $P$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的标准方程；

(2)、已知点 $M (0, \sqrt{3})$ ，点A，B是曲线 $Γ$ 上两个不同的动点（不在 $y$ 轴上），直线 $M A, M B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = - 1$ ，证明：直线 $A B$ 过定点．

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