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相关试卷

1、与双曲线 $x^{2} - 8 y^{2} = 8$ 有共同焦点，且经过点 $(0, 4)$ 的椭圆的标准方程是.

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2、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上一点 $M$ 与焦点的距离等于6，且 $M$ 在第一象限内，则 $M$ 的坐标是.

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3、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 两两垂直， $P A = 3$ ， $P B = P C = 4$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的内切球 $O_{1}$ （球心 $O_{1}$ 到各个面距离相等）半径为 $r$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的外接球 $O_{2}$ （球心 $O_{2}$ 到各顶点距离相等）半径为 $R$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为 $S$ ，体积为 $V$ ，则（）

A、 $S = 20 + 2 \sqrt{34}$ B、 $R = \frac{\sqrt{41}}{2}$ C、 $r = \frac{20 - 2 \sqrt{34}}{11}$ D、 $V = 24$

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4、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4$ ， $E$ 在线段 $C D_{1}$ 上，则（）

A、当 $E$ 为 $C D_{1}$ 中点时， $A E$ 与 $B B_{1}$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、当 $E$ 为 $C D_{1}$ 中点时， $A E$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值是 $\frac{\sqrt{30}}{6}$ C、三棱锥 $A - E B B_{1}$ 的体积为定值 D、 $A E + B_{1} E$ 的最小值是 $4 \sqrt{6}$

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5、已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，左焦点 $F_{1}$ ，右焦点 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上且不在 $x$ 轴上的一点，则下列说法正确的是（）

A、 $m$ 的取值范围是 $(0, 4)$ B、当焦距为4时，离心率为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、当离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 4 \sqrt{2}$ D、当长轴长为 $4 \sqrt{2}$ 时， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积最大值为4

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6、已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， $A (2, 0)$ ， $B (1, \frac{3}{2})$ ，过点 $P (2, 1)$ 的直线交椭圆于 $E$ 、 $F$ 两点，过点 $E$ 且平行于 $y$ 轴的直线与线段 $A B$ 交于点 $Q$ ，点 $E$ 关于点 $Q$ 的对称点为 $N$ ，则直线 $N F$ 一定过点（）

A、 $(1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(0, 3 - \sqrt{6})$ D、 $(2, 0)$

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7、过点 $(- 2, - 4)$ 的直线与曲线 $y = \sqrt{2 x - x^{2}}$ 有交点，则直线的斜率范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[\frac{6 - \sqrt{6}}{4}, \frac{6 + \sqrt{6}}{4}]$ C、 $[1, \frac{6 + \sqrt{6}}{4}]$ D、 $[\frac{6 - \sqrt{6}}{4}, 2]$

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8、已知向量 $\vec{a} = (2, 0, - 3)$ ， $\vec{b} = (3, 1, x)$ ， $\vec{c} = (1, 1, 1)$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b} - 2 \vec{c}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(1, - 1, 0)$ B、 $(2 \sqrt{2}, 0, - 3 \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2}, - \sqrt{2}, 0)$ D、 $(\frac{2 \sqrt{2}}{13}, 0, \frac{- 3 \sqrt{2}}{13})$

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9、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 的面积为（）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、3

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10、已知点 $A (1, 0)$ ，点 $B$ 为直线 $x - y + 1 = 0$ 上动点，则 $A$ 、 $B$ 两点间距离的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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11、空间中三条不同的直线 $l$ ， $m$ ， $n$ 和平面 $α$ 满足 $l ⊄ α$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则下面结论正确的是（）

A、若 $l ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ⊥ m$ 且 $l ⊥ n$ ，则 $l ⊥ α$ C、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l ⊥ n$ 且 $l ⊥ m$ ，则 $m ∥ n$

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12、直线 $y = k x$ 倾斜角为 $135 °$ ，且过点 $P (\sqrt{3}, a)$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- 3$ D、3

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13、已知抛物线 $Γ$ ： $y = x^{2}$ .

(1)、若点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为抛物线 $Γ$ 上一点，证明：抛物线 $Γ$ 在点 $P$ 处的切线方程为 $\frac{1}{2} (y_{0} + y) = x_{0} x$ ；

(2)、设 $E$ ， $F$ 是抛物线 $Γ$ ： $y = x^{2}$ 上两点，过点 $E$ ， $F$ 分别作 $Γ$ 的切线交于点 $C$ ，点 $A$ ， $B$ 分别在线段 $E C$ ， $C F$ 的延长线上，直线 $A B$ 与抛物线 $Γ$ 相切于点 $G$ .
（i）证明： $\frac{| E C |}{| C A |} = \frac{| C F |}{| F B |} = \frac{| A B |}{| B G |}$ ；
（ii）记 $△ E F G$ ， $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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14、如图，已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ .

(1)、求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、在线段 $B D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得直线 $C E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，求出 $\frac{B E}{B D}$ 的值，若不存在，请说明理由；

(3)、在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ .试比较 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的大小.

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15、已知函数 $f (x) = a e^{x} - ln x + b x$ .

(1)、若 $a = 0$ ， $b = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若 $b = 0$ ，证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 + ln a$ .

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16、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin 2 C = \sqrt{3} c \sin A$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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17、国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：

日期	1月29日	1月30日	1月31日	2月1日	2月2日	2月3日	2月4日
日期代码 $x$	1	2	3	4	5	6	7
累计票房 $y$ （亿元）	4.88	9.68	15.87	23.19	31.32	39.76	48.43
日期	2月5日	2月6日	2月7日
日期代码 $x$	8	9	10
累计票房 $y$ （亿元）	54.92	60.78	66.20

(1)、请根据这10日数据：

（i）计算 $x$ ， $y$ 的平均值 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ；

（ii）求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？

附：

参考公式：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；

参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 355.03$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 594.495$ .

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18、在公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2025} = 1$ ，且有 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{5} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{m - 5} (m \in N^{*}, m > 5)$ 成立，则 $m =$ .

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19、 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为.

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20、椭圆 $C$ 上一点 $P$ 到其两焦点 $F_{1} (- 8, 0)$ ， $F_{2} (8, 0)$ 的距离之和等于20，则椭圆 $C$ 的标准方程为.

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