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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{5} = 15$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、40 B、45 C、50 D、55

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2、若复数z满足 $(1 - 2 i) z = 4 - 3 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(2, 1)$

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3、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 6 x + 8 < 0\}$ ， $B = \{x |x \geq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 4)$ B、 $[3, 4)$ C、 $(2, 3]$ D、 $[3, + \infty)$

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4、为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 $- 1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 $- 1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 $X$ 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， $p_{i} (i = 0, 1, \dots, 8)$ 表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_{0} = 0$ ， $p_{8} = 1$ ， $p_{i} = a p_{i - 1} + b p_{i} + c p_{i + 1}$ $(i = 1, 2, \dots, 7)$ ，其中 $a = P (X = - 1)$ ， $b = P (X = 0)$ ， $c = P (X = 1)$ ．假设 $α = 0.5$ ， $β = 0.8$ ．
(i)证明： ${p_{i + 1} - p_{i}}$ $(i = 0, 1, 2, \dots, 7)$ 为等比数列；
(ii)求 $p_{4}$ ，并根据 $p_{4}$ 的值解释这种试验方案的合理性．

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1 (x \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间和极值．

(2)、若 $2 a - 1 \leq f (x)$ 对 $\forall x \in [- 2, 4]$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点坐标为 $F (1, 0)$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若斜率为1且过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，求 $| A B |$ ．

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7、长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 4$ ， $C C_{1} = 4 \sqrt{2}$ ， M为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、证明： $B M ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求 $M B$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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8、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 1, a_{4} = 3$ ，则 $a_{3} =$ ．

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9、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + 2 y = 3$ ，则下列正确的是（）

A、 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为 $3$ B、 $\sqrt{x} + \sqrt{2 y}$ 的最大值为 $6$ C、 $x y$ 的最大值为 $\frac{9}{8}$ D、 $2^{x + 1} + 4^{y} \geq 4$

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10、若随机变量 $X$ 服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $E (X) = \frac{2}{3}$ B、 $E (3 X - 1) = 2$ C、 $D (X) = \frac{2}{9}$ D、 $D (3 X - 1) = 2$

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11、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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12、从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有（）

A、504种 B、729种 C、84种 D、27种

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13、甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，则密码被破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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14、 $y = sin (\frac{π}{2} + sin x)$ 的奇偶性是（）

A、偶函数 B、奇函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数

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15、2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为 $2 α$ ，截面与圆锥的轴所成角为 $β$ 时，则截口曲线的离心率 $e = \frac{cos β}{cos α}$ ，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥 $S O$ ，轴截面 $S A B$ 为等边三角形， $\vec{S M} = \frac{1}{3} \vec{S B}$ .

(1)、当过 $M$ 的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥 $S O$ 的底面与截面圆之间的部分的体积；

(2)、过 $M$ 的平面截圆锥得到一个椭圆 $E$ ，截面与 $S O$ 交于点 $Q$ ，与 $S A$ 交于点 $N$ ， $R$ 为椭圆 $E$ 上一点， $R Q$ 与 $A B$ 垂直且与圆锥底面平行， $|R Q| = \frac{4}{3}$ .
①判断 $M N$ 是否为椭圆的长轴，并说明理由；
②判断 $Q$ 是否为椭圆的焦点，并说明理由.

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16、已知圆心为 $M$ 的动圆与 $⊙ C_{1}$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 外切，与 $⊙ C_{2}$ ： $x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 81$ 内切.

(1)、求 $M$ 的轨迹方程；

(2)、过点 $N (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ 的直线与 $M$ 的轨迹交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $N$ 为线段 $A B$ 的中点，求坐标原点 $O$ 关于直线 $A B$ 的对称点 $P$ 的坐标.

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17、如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为6的菱形，且 $∠ B A D = 60 °$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 为 $C D$ 中点.

(1)、求证： $B E ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的正弦值.

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18、已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标 $(5, 0)$ ，且离心率 $e = \frac{5}{3}$ .

(1)、求双曲线的标准方程和渐近线方程；

(2)、过双曲线右焦点且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ .

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19、如图所示的玻璃罩可以看成是由一个圆柱侧面和一个半球球面组合而成，其中球面半径为2分米，圆柱面高为4分米.（忽略玻璃厚度）

(1)、求该玻璃罩外壁的面积；

(2)、若将该玻璃罩倒置后装水，求最多能装多少升水？

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20、三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2 \sqrt{2}$ ，面 $P A B ⊥$ 面 $A B C$ ， $P A = P B = \sqrt{17}$ ，以 $△ A B C$ 的边 $A C$ 所在直线为旋转轴将 $△ A B C$ 旋转，则在旋转过程中， $| P B |$ 的取值范围是.

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